2022年初中数学《直棱柱、圆锥的侧面展开图》精品教案(公开课)

3．2直棱柱、圆锥的侧面展开图
1．认识直棱柱、圆锥的侧面展开图，并会进行相关的计算；(重点)
2．进一步培养空间观念和综合运用知识的能力．
一、情境导入
如图是一个长方体，大家数一下它有几个面，几条棱，上、下面与侧面有什么位置关系，竖着的棱与上、下面有何位置关系？
二、合作探究
探究点一：直棱柱及其侧面展开图
如图是一个四棱柱的外表展开图，根据图中的尺寸(单位：cm)求这个四棱柱的体积．解析：从展开图中分析出原图形中的各种数据，不要弄混原图形中的数据．
解：底面长方形的长为18cm，宽为7cm，直棱柱的高为30cm，∴V＝sh＝18×7×30＝3780(cm3)．
方法总结：弄清几何体展开图的各种数据，再进行有关计算．
变式训练：见《》本课时练习“课堂达标训练〞第3题
探究点二：圆锥及其侧面展开图
【类型一】求圆锥的侧面积
小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，那么这个圆锥形礼帽的侧面积为() A．270πcm2B．540πcm2
C．135πcm2D．216πcm2
解析：圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．圆锥形礼帽的侧面积＝π×9×30＝270π(cm2)．应选A.
方法总结：把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤，表达了空间图形和平面图形的转化思想．同时还应抓住两个对应关系，即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决．变式训练：见《》本课时练习“课堂达标训练〞第6题
【类型二】 求圆锥底面的半径
用半径为3cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面
半径为( )
A ．2πcm
B ．1.5cm
C ．πcm
D ．1cm
解析：设底面半径为r ，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr ＝120×3π
180，∴
r ＝1.应选D.
方法总结：用扇形围成圆锥时，扇形的弧长是底面圆的周长． 变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第7题 【类型三】 求圆锥的高
小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，扇形的半径为5cm ，弧长是6πcm ，
那么这个圆锥的高是( )
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．2cm
解析：如图，∵圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长＝6πcm ，圆锥的底面圆周长＝2π·OB ，∴2π·OB ＝6π，得OB ＝3cm.又∵圆锥的母线长AB ＝扇形的半径＝5cm ，∴圆锥的高OA ＝AB 2－OB 2＝4cm.应选A.
方法总结：这类题要抓住两个要点：(1)圆锥的母线长为扇形的半径；(2)圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．再结合题意，综合运用勾股定理、方程思想就可解决．
变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第4题 【类型四】 圆锥的侧面展开图的圆心角
一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，那么此圆锥侧面展开图的圆心角是( ) A ．120° B ．180° C ．240° D ．300°
解析：设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，那么由侧面积是底面积的2倍可知侧面积为2πr 2，那么2πr 2＝πRr ，解得R ＝2r .利用弧长公式可列等式2πr ＝n π·2r
180，解方程得
n ＝180.应选B.
方法总结：解决关于圆柱和圆锥的侧面展开图的计算问题时，将立体图形和展开后的平面图形的各个量的对应关系联系起来至关重要．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第9题 三、板书设计
教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用．要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形的各个量准确地对应起来.
1．4二次函数与一元二次方程的联系
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)
2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)
一、情境导入
小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程的联系
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况的判断
以下函数的图象与x轴只有一个交点的是()
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．应选D.
变式训练：见《》本课时练习“课后稳固提升〞第1题
【类型二】利用函数图象与x轴交点情况确定字母的取值范围
(2021·武汉模拟)二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是()
A．k<3 B．k<3且k≠0
C．k≤3 D．k≤3且k≠0
解析：∵二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴方程kx2－6x＋3＝0(k≠0)有实数根，即Δ＝36－12k≥0，k≤3.由于是二次函数，故k≠0，那么k的取值范围是k≤3且k≠0.应选D.
方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．变式训练：见《》本课时练习“课堂达标训练〞第4题
【类型三】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解
(2021·苏州中考)假设二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，那么关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝4
B.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝5
C.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－5
D.⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，x 2＝5 解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴－b
2＝2，解得b ＝－4.解方程
x 2－4x ＝5，解得x 1＝－1，x 2＝5.应选D.
方法总结：此题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第1题 探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x 2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．
解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x 2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x 2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．
(1)x － － － － － y
－
－
－
－
－
因此x ≈－是方程的一个实数根． (2)x y
－
－
－
－
－
x ≈是方程的另一个实数根．
方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第8题 探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面20
9
米，
与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
(1)建立如下列图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，乙的最大摸高为米，那么他能否获得成功？
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高米的大小．
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A (0，20
9)，B (4，4)，C (7，3)，
其中B 是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－1
9(x －4)2＋4.
将点C 的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－1
9(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C
在抛物线上．所以此球一定能投中；
(2)将x ＝1代入函数关系式，得y ＝3.因为＞3，所以盖帽能获得成功． 变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第7题 三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.。