概率论基础1.2

n n n
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随 机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，
将所取元素排成一列，
n n-1 n-2
n-k+1
共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
组合：从含有n个元素的集合中 随机抽取k 个，共有
n A n! k Cn k k! k!(n k )!
三 事件之间的关系
1. 包含关系： “ A发生必导致B发生”记为AB (A＝B AB且BA)
2. 和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
i 1
Ai
n
3. 积事件 : “A与B同时发生”，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
定义
i 1 i 1
Ai lim Ai lim
n
n i 1 n
Ai Ai
n i 1
理解
{ : f n () f ()}
{| f i () f ()| 1} k k 1 n 1i n



三 事件运算的算律
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
k n
种取法.
有重复组合数: 从n个不同元素中有重复的取k个，不计 顺序，则不同取法有
n k 1 k
分组问题： 有n个元素，分成k个小组（k≤n）， 其中第 i 组有 n i个元素，i=1，2，…k，有
n! n1! n2!nk !
种分百度文库。
1.2 样本空间与事件
一 样本空间
1、样本空间：试验的所有可能结果所组成 的集合称为样本空间，记为 ； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间 的每一个元素称为一个样本点,记为 . 3、由一个样本点组成的单点集称为一个基 本事件, 记为{ }. 事件定义为样本点的某个集 合，如{ 1 2 3 n }。 EX 给出E1-E6的样本空间
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹， 以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用 A、B、C的运算关系表示下列事件：
A B C A2 : “恰有一人命中目标” : ABC ABC ABC A3 : “恰有两人命中目标” : ABC ABC ABC A4 : “最多有一人命中目标 ” : BC AC AB
样本空间分类

有限 离散（可列） 不可列
二 事件
1. 定义 由样本点组成的某个集合称为随机事件， 简称事 件，记作A、B、C。 即任何事件均可表示为样本空间的某个子集。
事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
2. 两个特殊事件: 必然事件 、不可能事件.
例 重复三次试验E1 ，以下A , B , C 即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“三次出现同一面” ={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面” ={HTT，THT，TTH} 对于试验E5 ，事件D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{x:1000<x<T}。
A1 : “至少有一人命中目标 ” : A5 : “三人均命中目标” : A6 : “三人均未命中目标” :
ABC A B C
下面我们关注随机事件概率的计算

我们从最简单的有限样本空间开始 古典概型是有限样本空间最重要的模型 排列组合公式是计算古典概型概率的重要 工具。
一计算概率的例题
随机试验的例
E1：抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出 正面和反面； E2：报刊英文字母使用频率的统计； E3：掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E4：记录某网站一分钟内受到的点击次数； E5：在一批灯泡中任取一只，测其寿命； E6：任选一人，记录他的身高和体重 。
E6： ={ (x,y) 0<x<300, 0<y<250}
: 设盒中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
2 N () C5 1 1 N ( A) C3 C2

CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
复习：排列与组合的基本概念
小蚂蚁从左下角到右上角的走法种数
（只能向右和向上走）
乘法原理：设完成一件事需分两步，
第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，
则完成这件事共有n1n2种方法
加法原理：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放 回，将记录结果排成一列，
4. 差事件：A－B称为A与B的差事件, 表示事件A发 生而B不发生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5. 互斥的事件：AB＝ 也称A与B互不相容。
6. 互逆的事件 AB＝ , 且AB＝
记作B A ，称为A的对立事件 ; 易见A B AB
7. 可列个事件的场合