2。3变换的复合与矩阵的乘法
§2.3变换的复合与矩阵的乘法
教学目标:
一、知识与技能：
通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则 ，并能运用几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律
二、方法与过程
借助实例的探究，引入复合变换，寻求二阶矩阵的乘法法则，发现矩阵乘法不满足交换律；通过具体情境的观察、类比、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。
三、情感、态度与价值观
新旧知识的联结，潷学生的求知欲及进一点探索的乐趣。
教学重点:二阶矩阵乘法法则及运用 教学难点：说明矩阵乘法不满足交换律 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念
（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???
?
??d c b a 称为二阶矩阵。特别地，
称二阶矩阵????
??0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵???
?
??1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称???
?
??y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换
在平面直角坐标系中，把形如???+=+=dy
cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性
变换。
（2）旋转变换
坐标公式为???+=-=α
αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为???
?
??-αα
αα
cos sin sin cos （3）反射变换
①关于x 的反射变换坐标公式为???-==y
y x x ``对应的二阶矩阵为?
??? ??-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为???=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为????
??-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为???==x y y x ``对应的二阶矩阵为?
??
?
??0110； （4）伸缩变换
坐标公式为???==y
k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为???
?
??21
0k k ； （5）投影变换
①投影在x 上的变换坐标公式为???==0``y x x 对应的二阶矩阵为????
??0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为???==y
y x ``0对应的二阶矩阵为????
??1000 （6）切变变换
①平行于x 轴的切变变换坐标公式为???=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为???? ??101s ?
???
??101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为???+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为???
?
??101s 3、定理1 设A ＝?
??
?
??d c b a ，???? ??=111y x X ，???? ??=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X
4、定理2 可逆的线性变换具有如下性质：
（1）直线仍变成直线；
（2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形
二、新课讲解
例1 设平面上建立了直角坐标系。如图所示，交每个点
P （y x ,）先绕原点? 逆时针方向旋转角α到`P （`x ，`y ），
再从`
P （`x ，`y ）绕原点? 逆时针旋转角β到``P （``
x ，``y ）。写出由（y x ,）计算（``
x ，``y ）的关系式。由P （y x ,）到
``P （``x ，``y ）的变换能否用矩阵表示？如果能，写出表示这
个变换的矩阵。
解法一：由旋转变换可知
?
??+=-=ααα
αcos sin sin cos `
`y x y y x x （1） ???+=-=β
ββ
βcos sin sin cos `
```````y x y y x x （2） 将（1）代入（2），经过整理得???+++=+-+=)
cos()sin()
sin()cos(````βαβαβαβαy x y y x x
因此，从P （y x ,）到``
P （``x ，``
y ）的变换矩阵可以用???
?
??+++-+)cos()
sin()sin()cos(βαβαβαβα来表示，它就是绕原点沿逆时针方向旋转角α+β的变换
解法二：先绕原点沿逆时针方向旋转角，再绕原点沿逆时针方向旋转角β，总的效果是直接将
每个点P （y x ,）绕原点沿逆时针方向旋转角α+β到``
P （``x ，``
y ），由旋转变换可知，这个变换可以用矩阵???
?
??+++-+)cos()sin()sin()cos(βαβαβαβα来表示 一般地，设A ，B 是平面上的两个变换，将平面上每个点P 先用变换A 变到`
P ，再用变换B 将`
P
变到``
P ，则从P 到``
P 也是平面上的一个变换，称为A ，B 的复合变换，也称为B 与A 的乘积，记作BA 。
注意：为里先施行变换A ，后施行变换B ，但它们的复合变换要记作BA 。原因是：将`
P ＝A （P
）
代入``P ＝B （`P ）得到``P ＝B （A （P ）），因此，写为``
P ＝BA （P ）较为合理，A 在B 的右边，首先接触P ，它先作用于P 得到A （P ）之后再用B 从左边作用于A （P ）得到BA （P ）
例2、 设平面上建立了直角坐标系，变换A ，B 可分别用A ＝????
??11
11
d c b a 和B ＝???
?
??22
22
d c b a 表示将每个点P （y x ,）先用变换A 变到`
P （`
x ，`y ），再用变换B 将`
P （`
x ，`y ）变到``
P （``
x ，``y ）
。复合变换BA 是否能用矩阵表示？如果能，写出变换BA 的矩阵 解：将???+=+=y d x c y y b x a x 11`11`代入???+=+=`
2`2```
2`2``y
d x c y y b x a x 经过整理得： ???+++=+++=y
d d b c x c d a c y y
d b b a x c b a a x )()()()(12121212``
12121221`` 所以从P （y x ,）到``
P （``
x ，``y ）的变换矩阵BA 可以用矩阵???
?
??++++1212121212121
221d d b c c d a c d b b a c b a a 表示
将变换写成矩阵式???? ??``y x ＝????
??1111
d c b a ????
??y x ???? ??````y x ＝???? ??2222d c b a ???
?
??``y x 得???? ??````y x ＝???? ??22
22
d c b a ???
?
??11
11
d c b a ???
?
??y x ???? ??````y x ＝??
?
?
??++++1212121
212121
221d d b c c
d a c d b b a c b a a ???
? ??y x 由此得????
??2222
d c b a ???? ??1111
d c b a ＝???
?
??++++12121
21212121
221d d b c c d a c d b b a c b a a
对任意两个2×2矩阵A ＝???? ??11
11
d c
b a 和B ＝???
?
??22
22
d c b a ，我们规定它们的乘积 BA ＝???
?
??++++1212121212121
221d d b c c d a c d b b a c b a a 按照这规定，假如变换B ，A 的矩阵分别是B ，A ，则复合变换BA 的矩阵是两变换矩阵的乘积
BA 。要理解和记忆公式所表示的矩阵乘法法则，先学会行向量（b a ,）与列向量???
?
??d c 的乘法法则：
（b a ,）???
?
??d c ＝bd ac +
这个规则就是：将行向量的两个数与列向量的两个数分别对应相乘，再将所得的乘积相加。 再来看两个2×2矩阵的乘法规则：将矩阵B ＝????
??2222d c b a 的第i 行（i ＝1，2）与矩阵A ＝???
?
??1111
d c b a 的第j 列（j ＝1，2）、相乘得到一个数，得到的就是矩阵BA 的第i 行第j 列的数。 练习：
例3、平面上建立了直角坐标系，直线1l ，2l 经过原点O 倾斜角分别是α，β，设变换A ，B
分别表示关于直线1l ，2l 的反射变换，求：（1）变换A ，B 的复合变换BA 的矩阵；（2）变换B ，A 的复合变换AB 的矩阵；（3）根据矩阵说明BA ，AB 是什么变换，这两个变换是否相同。 解：（1）设A ，B 的矩阵分别是
A ＝???? ?
?-αααα
2cos 2sin 2sin 2cos ， B ＝???
?
??-ββββ
2cos 2sin 2sin 2cos
BA ＝????
??-ββββ
2cos 2sin 2sin 2cos ???
?
??-αα
αα2cos 2sin 2sin 2cos ＝???
?
??-----)(2cos )(2sin )(2sin )(2cos αβαβαβαβ 这表示绕原点沿逆时针旋转角)(2αβ-
（2）AB ＝??
??
??-αααα
2cos 2sin 2sin 2cos ???? ??-ββββ
2cos 2sin 2sin 2cos ＝???
?
??-----)(2cos )(2sin )(2sin )(2cos βαβαβαβα 这表示绕原点沿逆时针旋转角)(2βα-
（3）变换BA 与变换AB 的旋转角)(2αβ-与)(2βα-正好相反，当παβ≠-)(2时，这两个旋转是不相同的，也就是说AB ≠BA
这说明：变换的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律 练习 ：计算
三、课堂练习
1、计算（1）???? ??4321???? ??-4011 （2）???? ??4210???
? ??--3203
2、在直角坐标系内，分别求下列向量先经过旋转变换逆时针转300
，再经过矩阵???
?
??1021对应的切变变换所得的结果。
（1）????
??01 （2）???
?
??y x 3、已知M 1＝
?
???
??21001和M 2＝???? ??31001，试求M 1 M 2，并对其几何意义给予解释。 四、小结
1、设A ，B 是平面上的两个变换，将平面上每个点P 先用变换A 变到`P ，再用变换B 将`
P 变到``
P ，则从P 到``
P 也是平面上的一个变换，称为A ，B 的复合变换，也称为B 与A 的乘积，记作BA 。
2、A ＝???? ??1111
d c
b a 和B ＝???
?
??2222
d c b a BA ＝???? ??22
22
d c
b a ???? ??11
11d c b a ＝???
?
??++++12121
21212121
221d d b c c d a c d b b a c b a a 3、变换的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律 即AB ≠BA
四、课后作业：
课本41页 习题3 1,2 教学反思：
7.3 线性变换的矩阵
第七章 线性变换 学习单元3： 线性变换的矩阵 _________________________________________________________ ● 导学 学习目标： 理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。 学习建议： 线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。建议大家多看书，认真理解概念与结论。 重点难点： 重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。 难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。 _________________________________________________________ ● 学习内容 一、线性变换的确定 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ， ()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。 命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当 ()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。 命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在 ()A L V ∈，使
(),1,2,,i i A i n εα==L 。 定理 设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的 ()A L V ∈，使 (),1,2,,i i A i n εα==L 。 例 设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。 注：由定理可知P 上n 维线性空间V 的线性变换的集合()L V 与V 上n 元向量组之集合间有一一对应关系。 二、线性变换的矩阵 设V 为数域P 上n 维线性空间，取定V 的一个基1,,n εεL ，则对V 中任一n 元向量组1,,n ααL ，存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。这说明()L V 与V 的n 元有序向量组之集有一一对应关系，但n 元有序向量组1,,n ααL 又可由它们在基1,,n εεL 下的坐标确定。 定义 设1,,n εεL 为V 的基，()A L V ∈，令 11112121212122221122()()()n n n n n n n nn n A a a a A a a a A a a a εεεεεεεεεεεε=+++??=+++?? ??=+++?L L K L ， 即 1212((),(),())(,,)n n A A A A εεεεεε=L L 其中 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ????=???????? L L L L L L
逆变换与逆矩阵 (6)
2.4.1 逆矩阵的概念 1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵. [基础·初探] 1.逆变换 二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′).反过来，如果已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换. 2.逆矩阵 对于二阶矩阵A ，B ，若AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B . 3.逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的. (2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1 . (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝ C . 4.逆矩阵的求法 一般地，对于二阶矩阵A ＝?? ?? ?? a b c d ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆
矩阵 A － 1＝ ????? ???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . [思考·探究] 1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？ 【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射. 2.是否每个二阶矩阵都可逆？ 【提示】 不是，只有当?? ????a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝??????1 00 0，因为1×0－0×0＝0， 找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立， 故A ＝?? ?? ?? 1 00 0不可逆. 3.若二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1? 【提示】 根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB )－1＝ [] （AC ）B －1 ＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1. [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时 逆矩阵的概念
第09课时 逆矩阵的概念 一、要点讲解 1．二阶逆矩阵的概念： 2．逆矩阵的求法： 二、知识梳理 1．对于二阶矩阵，若有______________________，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．在六种变换中，__________变换一定不存在逆矩阵． 3．一般地，对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠?????? ，它的逆矩阵为1A -=________________． 4．若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1=____________． 5．已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB = AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则___________． 三、例题讲解 例1． 对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换(先T A 后 T B )的结果与恒等变换的结果相同？ (1)以x 为反射轴的反射变换； (2)绕原点逆时针旋转60o作旋转变换； (3)横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； (4)沿y 轴方向，向x 轴作投影变换； (5)纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x + 2y ，y ）． 例2． 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不存在， 请说明理由． (1)0110??????=A ； (2)11210??????????=B ； (3)0110??-????=C ； (4)1010?????? =D ； 例3． 求矩阵3221??? ???=A 的逆矩阵． 四、巩固练习 1. 已知矩阵122301,,231210??????? ?????--??????===B C A ，求满足AXB = C 的矩阵X ．
§7.3线性变换和矩阵.
1．在向量空间 3 F 3中,设1, 1, 1, 1, 是F3的两个基, F 3), 1) 3到 基§7.3 线性变换和矩 阵 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 1 2, 1, 1 3 的过渡矩阵； 1,2,3 2) 在基1, 2, 3下的矩阵； 3)求基1, 2, 3下的矩阵； 4)设 (2,1,3) ,分别求在基 1, 2, 3与1 设三维向量空间V 的线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵是 a11a12a13 A a21a22a23 a31a32a33 1)求在基3, 2, 1下的矩阵； 2)求在基1,k 2 , 3下的矩阵, 其中0k F；2 2． 12 12 3 下的坐标．3) 在基3下的矩阵． 3．在向量空间M 2 (F) 中,定义线性变换 (x)= a b a b (X)= a c b d X c a d b
在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 4.在F 2 2中，求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为 1020 0102 A 3040 0304 的线性变换 . 5. 在n维向量空间V中， L(V)，存在向量V ，使得 n1 0，但 n 0 .证 明：V中存在一个基，使得在这个基下的矩阵是 0E n1 00 6. 设A s B，C s D,证明 A0B0 s 0C0C 7. 设A可逆，证明：AB^BA. 8. 在向量空间F3 3中，设 ab c c a b b c a A b c a ， B a b c， C c a b ca b b c a a b c 证明：A，B， C 彼此此相似. 9.设V 是数域 F 上n 维向量空间，证明：V 的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 10.设V是数域F上n维向量空间，问V中是否有线性变换，，使其中I 是恒等变换，为什么？对无限维空间结论又如何？ I.
推荐高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2
2．4.1 逆矩阵的概念 1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1 . 2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1 ＝B －1A －1 . (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法 (1)公式法：对于二阶矩阵A ＝???? ??ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1 ＝ ????????d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (2)待定系数法． (3)逆变换法． [对应学生用书P30] [例1] 求矩阵A ＝?? ?? 3 22 1的逆矩阵． [思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解． [精解详析] 法一：待定系数法：设A －1 ＝??????xy zw ， 则??????3 22 1??????xy zw ＝???? ??1 00 1. 即????3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝??? ?1 00 1， 故? ?? ?? 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，? ?? ?? 3y ＋2w ＝0， 2y ＋w ＝1， 解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，
从而A 的逆矩阵为A －1 ＝?? ??－122－3. 法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0， ∴A －1 ＝???? ??－122－3. 用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1 ，再由AA －1 ＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1 . 1．(江苏高考)已知矩阵A ＝?? ????－1002，B ＝???? ??1206，求矩阵A －1 B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为??????ab cd ，则?? ????－1 0 0 2??????ab cd ＝?????? 1 00 1，即??????－a －b 2c 2d ＝???? ??1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12 ，从而A 的逆矩阵为A －1＝???????? －1 0 0 12， 所以A －1 B ＝? ?? ?? ??? －1 0 0 12?????? 1 20 6＝???? ??－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝???? 21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 解：由M ＝????21 －3 －1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0， 故M －1 ＝????－1－1 32. 从而由????21 －3－1????x y ＝???? 13 5得 ????x y ＝????－1－1 32????13 5＝????－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝??? ? 2－3， 故? ?? ?? x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．
线性变换与矩阵地关系
线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学 ： 学号：
线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业， 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明：
○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念
第01课时 矩阵的概念 一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ． 三、例题讲解 例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)． 例2． 设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ． 例3． 已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式． 四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．
线性变换和矩阵.
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上 的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个 向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它 扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
2.4逆变换和逆矩阵
2.4逆变换和逆矩阵 第一课时 逆变换与逆矩阵 [教学目标] 一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵 二、过程与方法：讲练结合法 三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法 [教学难点、重点]求二阶逆矩阵 [教学过程] 一、问题情景 ?? ????y x 1 T 变换??????//y x ?? →?2 T 变换??? ???y x （1）这个对应终归是什么对应？ ?? ????y x →?? ????y x （2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现） （3）对应的矩阵如何表示？若T 1对应变换矩阵为A ，T 2对应的变换矩阵为B ，BA=E 二、问题的深入 1、相关定义 以上变换T 2、T 1称作对方的逆变换，T 1、T 2称互逆的 相应的矩阵A 、B 满足：AB=BA=E ，称A 是可逆的，B 称A 的逆矩阵 例1、A=??????-0112,B=??????-2110,C=?? ? ???-2110,问B 、C 是否为A 的逆矩阵？ 解答：B 不是，C 是 思考1：一个矩阵A 存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？ 从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A 的逆矩阵为B 1、B 2，则有：B 1=B 1E=B 1（AB 2）=（B 1A ）B 2=EB 2=B 2 这样，一个矩阵A 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A -1 思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？ 从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。所以从一般的角度加以考虑。首先，零矩阵一定没有逆矩阵 设二阶非零矩阵???? ??d c b a 的逆矩阵为?? ? ???2121 y y x x ，则
第2讲矩阵与变换学生
第2讲 矩阵与变换 考情解读 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分． 1．矩阵乘法的定义 一般地，我们规定行矩阵[a 11，a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11，a 12]?????? b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]， 二阶矩阵?? ???? a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy . 说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换． 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个 平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：??????x y →???? ??x ′y ′. 2．几种常见的平面变换 (1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换． 3．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念 对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1 ，A －1 ＝B . (2)逆矩阵的求法 一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝?? ?? ?? a b c d (ad －bc ≠0)， 它的逆矩阵为A －1 ＝ ????? ???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵的简单性质
高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，
。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。
选修4-2矩阵与变换习题
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ①OP → = →的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ???? ?? 2 3 ③ 概念一： 象??????2 3 80908688?? ???? 23324m ????-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ?? a 11 a 21 （仅有一列） ⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ?? ???? ，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ?????? 的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,?? ? ???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++?? =??--?? ，若A=B ，求x,y,m,n 的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ?? ? ???称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?? ???? ，记为0。 — 2 — 3 — ???? ??80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??
线性变换的矩阵表示式
§5 线性变换的矩阵表示式 上节例10中，关系式 ()T x Ax = ()n x R ∈ 简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即 ()n i Ae i i ,,2,1 ==α， 可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式 ()11122(), ,() n n n T x T e e x T x e x e x e ==++ +???? 1122()()() n n x T e x T e x T e =++ + ()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα=== 总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式 ()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =. 把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有 定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基 n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为 11112121212122221122(),(),(), n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++ +??=+++???? =++ +? 记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为
逆变换与逆矩阵 (3)
学业分层测评(六) [学业达标] 1.已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵. 【解】 这个变换的逆变换是作关于x轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转变换，其矩阵 ＝. 2.求矩阵的逆矩阵. 【导学号：30650038】【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵的逆矩阵为，则＝， 即＝，所以 解得 故所求逆矩阵为. 法二 A＝中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝＝. 3.已知A＝，B＝，求证B是A的逆矩阵. 【证明】 因为A＝，B＝， 所以AB＝＝， BA＝＝， 所以B是A的逆矩阵. 4.已知M＝，N＝，求矩阵MN的逆矩阵. 【解】 因为M＝，N＝， 所以MN＝＝. 设矩阵MN的逆矩阵为，则 ＝，即＝，所以 解得故所求的逆矩阵为. 5.已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0，5). (1)求变换矩阵A；
(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1；如不可逆，请说明理由. 【解】 (1)设A＝，依题意，得＝，＝，即解得所以A＝. (2)变换矩阵A是可逆的. 设矩阵A的逆矩阵为， 则由＝， 得 解得故矩阵A的逆矩阵为A－1＝. 6.已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B. 【导学号：30650039】【解】 设矩阵A的逆矩阵为， 则·＝， 即＝， 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝， 从而A的逆矩阵为A－1＝， 所以A－1B＝＝. 7.已知矩阵A＝，B＝，求满足AX＝B的二阶矩阵X. 【解】 因为A＝， 所以A－1＝.因为AX＝B，所以A－1(AX)＝A－1B.又因为(A－1A)X＝A－1(AX)，所以(A－1A)X＝A－1B， 所以X＝A－1B＝＝. [能力提升] 8.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1) 与(0，－2). (1)求矩阵M的逆矩阵M－1； (2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程. 【解】 (1)设M＝，则有＝，＝， 所以且解得 所以M＝，从而M－1＝. (2)设直线l上任意一点(x，y)，在变换M作用下对应直线m上任意一 点(x 2，y 2)，因为＝＝
北师大版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵教案
逆变换与逆矩阵 教学目标 1.理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念 2.能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论 3.能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵 4.理解二阶矩阵消去律的条件 一．回顾复习，引入新课 1.矩阵乘法的简单性质 2.矩阵乘法的几何意义 3.初等变换，初等变换矩阵，初等变换的复合 问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？ （1）以y 轴为反射轴作反射变换； （2）绕原点逆时针旋转 30作旋转变换； （3）纵坐标不变，沿x 轴方向将横坐标压缩为原来的 2 1 作伸压变换；
（4）沿x 轴方向，将y 轴作投影变换； （5）横坐标x 不变，纵坐标依横坐标的比例增加，且)2,(),(y x x y x +→作切变变换. 二．建构数学，新授内容 1.逆变换 2.逆矩阵 3.相关结论 （1） （2） （3） 思考：M 的逆矩阵M 1-和函数)(x f y =的反函数)(1 x f y -=有什么异同？ 三．应用示例，例题分析 例 1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由. （1）A ??????-=1001；（2）B ??????=3001；（3）C ??? ???=1000；（4）D ??? ?????=12101 例2.求矩阵A ?? ????=1223的逆矩阵. 例3.求下列矩阵AB 的逆矩阵. （1）A ??????=2001，B ??? ?????=10211 ；（2）A ??????=0211，B ???? ?????? -=02 1210.
#第七章 线性变换(小结)
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.
逆变换与逆矩阵 (2)
章末分层突破 一、求逆矩阵 求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种： 法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解； 法二：从几何变换的角度求解. 已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1. 【导学号：30650045】【解】 法一 ∵AB＝ ＝ ＝， ∴det(AB)＝＝11－130＝－119. ∴(AB)－1＝. 法二 ∵A＝，∴det(A)＝＝12＋5＝17， A－1＝； 又∵B＝，∴det(B)＝＝－1－6＝－7.∴B－1＝. ∴(AB)－1＝B－1A－1＝
＝. 二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1.二元一次方程组的解的情况的判定. 常用两种方法：法一：利用det(A)与0的大小情况判定. 法二：从几何变换的角度判定. 2.二元一次方程组的求解常用两种方法： (1)用行列式法求解 记D＝，D x＝，D y＝， 于是方程组的解为 (2)用逆矩阵法求解 写出系数矩阵A＝， 则det(A)＝ad－bc， 若det(A)＝0，判定方程组解的情况； 若det(A)≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝，令＝A－1，则即为方程组的解. 解二元一次方程组： 【解】 法一 方程组可写为＝. 因为＝1×3－1×2＝1≠0， 所以方程组有惟一解. 利用矩阵求逆公式得＝. 所以原方程组的解为＝ ＝＝，即 法二 记D＝＝1×3－1×2＝1≠0， D x＝＝7×3－6×1＝15， D y＝＝1×6－2×7＝－8. ∴方程组的解为 三、函数方程思想 本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用. 已知A＝，求A－1. 【解】 法一 设A－1＝， 则＝， 即＝，
线性变换及其矩阵
第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线 性变换 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但 （4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-
一、逆矩阵与逆变换
逆 矩 阵 与 逆 变 换 教学目标 1.逆矩阵的概念； 2.逆矩阵的性质。 教学过程 探究：对于一个线性变换ρ，是否存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ？对于一个二阶矩阵A ，是否存在一个二阶矩阵B,使得BA=AB=E 2？ 变换ρ：将向量α沿逆时针方向绕原点旋转30°；变换σ：将向量α沿顺时针方向绕原点旋转30°，则任意向量经上述两种变换后，仍得其本身。 1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得 σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 若变换变换ρ和变换σ对应的矩阵分别为A 、B ，则有BA=AB=E 2 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。 符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。 一般地，设A 是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A 的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。 3.逆矩阵的性质: 性质1:若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。 性质2：设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。 课堂练习： 1.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的 两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换 2.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11 ()A A --= D. 2112()()A A --= 3.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 4.矩阵0111?? ??? 的逆矩阵为 5.A ＝1101-?? ???13223122??- ? ? ? ?? ?，则1A -=
高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题7、1 习题7、1、1判别下列变换就是否线性变换？ (1)设就是线性空间中得一个固定向量, (Ⅰ),, 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(Ⅱ),; 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(2)在中, (Ⅰ), 解:不就是得线性变换。因对于,有,,所以。(Ⅱ); 解:就是得线性变换。设,其中,,则有 , 。 (3)在中, (Ⅰ), 解:就是得线性变换:设,则 , ,。
(Ⅱ),其中就是中得固定数; 解:就是得线性变换:设,则 , ,。 (4)把复数域瞧作复数域上得线性空间,,其中就是得共轭复数; 解:不就是线性变换。因为取,时,有,,即。 (5)在中,设与就是其中得两个固定得矩阵,,。 解:就是得线性变换。对,,有 , 。 习题7、1、2在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换。证明(表示恒等变换), , ; 并说明就是否成立。
证明:在中任取一个向量,则根据,及得定义可知:,,;, ,;,,,即,故。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 习题7、1、3在中,,,证明。 证明:在中任取一多项式,有 。所以。 习题7、1、4设,就是上得线性变换。若,证明 。 证明:用数学归纳法证明。当时,有 命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对也成立。因有
,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。 习题7、1、5证明(1)若就是上得可逆线性变换,则得逆变换唯一;(2)若,就是上得可逆线性变换,则也就是可逆线性变换,且 。 证明:(1)设都就是得逆变换,则有,。进而。即得逆变换唯一。 (2)因,都就是上得可逆线性变换,则有 ,同理有 由定义知就是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得。 习题7、1、6设就是上得线性变换,向量,且,,,都不就是零向量,但。证明,,,线性无关。 证明:设,依次用可得 ,得,而,故;同理有:,得,即得;依次类推可得,即得,进而得。 有定义知,,,线性无关。 习题7、1、7设就是上得线性变换,证明就是可逆线性变换得充要条件为既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即就是一一变换。