第三节线性变换的矩阵

A为
n
定理 1 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一
组基， 1 , 2 , … , n 是 V 中任意 n 个向量. 存
在唯一的线性变换 A 使 A i = i , i = 1, 2, … , n .
有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换 与矩阵的联系.
二、线性变换的矩阵
…
的 n n 矩阵那的么一个A映=射B. 前. 面的 结论1 设说1明, 这2 , …
个映射是单射，结论2 设说1明, 这2如,个…果映线, 射性n 是变线满换性射A空. 与换间 BV 句话说，我们对在于这任二意者一之组间向建量立即了1 ,一个2 ,双…射, .An这一个i =定B有
对应的重要性变表换现A在使它保持运算那，么即有A = B .
用矩阵来表示就是
A (1 , 2 , … , n ) = (A 1 , A 2 , … , A n )
其中
= (1 , 2 , … , n ) A ， (5)
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
.
矩阵 A 称为 A 在基 1 , 2 , … , n 下的矩阵.
果线性变换 A 与 B 在这组基上的作用相同，即 A i = B i , i = 1, 2, … , n ,
那么 A = B . 证明 A 与 B 相等的意义是它们对每个向量
的作结用论相同1 的. 意因义此就，是我，们一就个是线要性证变明换对完任全一被向它量在
等一式组基A上 的= B作用成所立决.定而. 由下面我们进一步指出，基 向量的像A却 =完x全1 A可(以1是) +任x意2 A的(，2 )也+就…是+说xn A (n )
基 1 , 2 , … , n 下的矩阵分别是 A，B，即
A (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n )A ， B(1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n )B .
1) 由
(A + B ) (1 , 2 , … , n ) = A (1 , 2 , … , n ) + B(1 , 2 , … , n )
= (1 , 2 , … , n ) A + (1 , 2 , … , n ) B = (1 , 2 , … , n )( A + B ) .
可知，在 1 , 2 , … , n 基下，线性变换 A + B 的
矩阵是A + B. 2) 相仿地，
空间 V 中任一向量 可以被基 1 , 2 , … , n 线
性表出，即有
= x11 + x22 + … + xnn
(1)
= x11 + x22 + … + xnn
(1)
其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的
坐标. 由于线性变换保持线性关系不变，因而在
的像 A 与基的像 A 1 , A 2 , … , A n 之间也必然
例 1 设 1 , 2 , … , m 是 n ( n > m ) 维线性空
间 V 的子空间 W 的一组基，把它扩充为 V 的一组
基 1 , 2 , … , n . 指定线性变换 A 如下： A i = i ，当 i =1 , 2 , … , m , A i = 0 ，当 i = m + 1 , … , n .
Ai=i
,
i = 1, 2, … , n .
结论2 设 1 , 2 , …
对于任意一组向量 1 ,
变换 A 使
2. 性质
定理 2 设 1 ,2 , …,n 是数域 P 上 n 维线性
空间 V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按
公式 (5) 对应一个 n n 矩阵. 这个对应具有以
下A的(性1 , 质2 ,：… , n ) = (A 1 , A 2 , … , A n )
1. 定义 定义 7 设 1 , 2 , … , n 是数域 P 上 n 维线性 空间 V 的一组基， A 是 V 中的一个线性变换. 基
向量的像可以被基线性表出：
A 1 a111 a21 2 an1 n ,
A
2
a121 a22 2
an2 n
,
A n a1n1 a2n 2 ann n .
及假设
2. 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一组基. 对 于任意一组向量 1 , 2 , … , n 一定有一个线性变
换A 使
A i = i , i = 1, 2, … , n .
(3)
证明 我们来作出所要的线性变换. 设
综合以上两点，得n xii i 1
是线性空间 V 的任意一个向量，我们定义 V 的变换
有相同的关系：
A = A (x11 + x22 + … + xnn ) = x1 A (1 ) + x2 A (2 ) + … + xn A (n ) (2)
上式表明，如果我们知道了基 1 , 2 , … , n 的像， 那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了，
或者说
1. 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一组基. 如
如此确定的线性变换 A 称为对子空间 W 的一个
投影. 不难证明投影 A 在基 1 , 2 , … , n 下的矩
阵是
1
1
m行
1
0
0
m列
12
n
这样，在如取果定线一性组变基换之A后与，我B们在就这建组立基了上由的数作用
域
P
上的
n
即 维线性空间
V
A的线i =性B变换i 到, 数域i =P1上, 2,
1) 线性变换的=和(对1 ,应2于, …矩阵, n的) 和A ；， (5)
其中 2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3) 积；
线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
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.
4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变 换对应于逆矩阵.
证明 设 A ，B 是两个线性变换，它们在
第三节 线性变换的矩阵
主要内容
线性变换、基与基的像 线性变换的矩阵 向量像的计算公式 线性变换在不同基下矩阵的关系 相似矩阵
一、线性变换、基与基的像
设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，1 , 2 , … , n
是 V 的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩 阵的关系. 首先来讨论线性变换、基与基的像之间 的关系.