山东大学13年数学分析

山东大学2013年考研真题（数学分析）

1、（15分）设1=0N k

k c =∑，

求极限k 1

lim N k x c →∞=∑ 2、（15分）计算()()1cos sin x x L e y dx e y y dy ---⎰

，L 为区域0x <<π，0sin y x <<的正向围线。

3、（15

分）求s ds ⎰⎰，

s

为1z ≤≤的边界。 4、（15分）求积分10ln b a x x dx x

-⎰，(),0a b > 5、（20分）证明函数列(){}n f x 在(),a b 内一致收敛于极限函数()f x 的

充分必要条件是()(),lim sup ||0n n x a b r x →∞∈⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

，其中()()()||n n r x f x f x =-。 6、（20分）判别积分()30cos x x dx ∞

⎰的收敛性。 7、（20分）证明()02x x dx x

∞αϕ=+⎰对()α∈2,∞是连续的。 8、（15分）()f x 是[0,+)∞上的可微函数，()00f =，且()()'f x

f x >，

()0,+x ∀∈∞。证明()0f x >，0x ∀>。 9、（15分）设数列{}n x 满足0m n m n x x x +≤≤+，(),1,2,n m =⋯，证明数列n x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

收敛。