山东大学数值分析课现代数值分析第1章引论
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ห้องสมุดไป่ตู้2020/9/11
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
绝对误差 ( absolute error )
e(x)xx* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e ( x ) | 的上限记为 ε , 称为绝对误差限( accuracy )
工程上常记为 x* x ε
解: (1) 易知
In 5 In 10 1xnx 5 5 xn 1dx0 1xn 1dx1 n
所以 In5In11 n (n1,2, ,8) (方法不可用) (2) 因为
I n I n 1 5 I n 1 I n 5 I n 1 6 I n 1 , 又 I n 5 I n 1 1 n
2020/9/11
Def : (算法) 为了用计算机解决数学问题而构造的
能够用数值计算的实施方法。即把对数学问题的解 法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并有确 定运算次序的完整而准确的描述。
算法的特点：
➢ 构造性 ➢ 能够通过数值演算 ➢ 一种实施方法
2020/9/11
算法的可用性（算法的稳定性）：
2020/9/11
(2) 存储量的多少 (3) 逻辑结构是否简单
二、数值分析的特点
1. 近似：由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1
1
0
1
10
2020/9/11
原点附近
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵，
1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵。
1 0 1
？
1 10 1 10
直接计算：需 n ( n +1)/2 次乘法和 n 次加法。 迭代计算：P n ( x ) { [ ( a 0 x a 1 ) x a 2 ] x a n 1 } x a n
按下列迭代公式计算 u0 a0 uk xuk1 ak ,k 1,2, ,n Pn(x) un 只需 n 次乘法和 n 次加法。
理论上很完美的算法，在计算机上未必可用。
例1：Gramer 法则解线性方程组：n 阶方程组需计 算 n + 1 个行列式的值，每一个行列式的值需 (n1)n! 次乘法，共需 (n1)(n1)n!次 乘法。
例2：如建立
In0 1xx n5dx (n0,1,2, ,8)
的递推公式并作实际计算。
2020/9/11
1 6n
In1
1 5n
当 n = 9 时，有
1 54
I8
1 45
取
11 1 I82(5445)0.0204
2020/9/11
In1I5 n5 1 n (n8,7, ,1)
算法的优劣：
评价标准：(1) 计算量的大小 例：计算 P n ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
2020/9/11
➢ 现代数值分析是一门内容丰富、研究方法 深刻、实用性较强的数学课程。
➢ 研究对象：从科学与工程问题中抽象归纳 出来的数学问题。
一、 计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
例如： 1ex2dx0.7430.006 0
相对误差 ( relative error )
2020/9/11
➢通信卫星覆盖地球面积 实际问题
将地球考虑成
一个球体, 设 数学模型
R为地球半
径,h为卫星高 度,D为覆盖面
获取数据
在平面的投影
数值方法、程序
D
R
dxdy
R2 x2 y2
数据结果
2020/9/11
举例
1。求下列方程的根或零点：
x22xsinx10
（第四章的内容：非线性方程的数值解法）
工程数值分析题解
2020/9/11
2020/9/11
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
2020/9/11
2020/9/11
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析
能够做什么？
模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数学模型
观测误差 ( Measurement Error ): 通过测量得到模型中参数 的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）: 求近似解。求解数 学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引 起的误差 舍入误差 ( Roundoff Error ): 机器字长有限，通常用四舍五 入的办法取近似值，由此引起的误差.
Can you solve： (x1)100 0
Can you solve：
x100100x994950x98161700x97 3921225x96 100x10
2020/9/11
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（第八章的内容：数值积分）
2020/9/11
➢三种常用的技术: （1）求未知数据的迭代计算技术 （2）连续模型离散化处理技术 （3）离散数据的连续化处理技术
2020/9/11
教材 (Text Book) 现代数值分析 蔺小林、蒋耀林 编著（国防工业出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ）
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2. 与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
2020/9/11
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification )
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
➢工程数值分析 王立秋等编著（山东大学出版社）
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
绝对误差 ( absolute error )
e(x)xx* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e ( x ) | 的上限记为 ε , 称为绝对误差限( accuracy )
工程上常记为 x* x ε
解: (1) 易知
In 5 In 10 1xnx 5 5 xn 1dx0 1xn 1dx1 n
所以 In5In11 n (n1,2, ,8) (方法不可用) (2) 因为
I n I n 1 5 I n 1 I n 5 I n 1 6 I n 1 , 又 I n 5 I n 1 1 n
2020/9/11
Def : (算法) 为了用计算机解决数学问题而构造的
能够用数值计算的实施方法。即把对数学问题的解 法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并有确 定运算次序的完整而准确的描述。
算法的特点：
➢ 构造性 ➢ 能够通过数值演算 ➢ 一种实施方法
2020/9/11
算法的可用性（算法的稳定性）：
2020/9/11
(2) 存储量的多少 (3) 逻辑结构是否简单
二、数值分析的特点
1. 近似：由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1
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0
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2020/9/11
原点附近
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵，
1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵。
1 0 1
？
1 10 1 10
直接计算：需 n ( n +1)/2 次乘法和 n 次加法。 迭代计算：P n ( x ) { [ ( a 0 x a 1 ) x a 2 ] x a n 1 } x a n
按下列迭代公式计算 u0 a0 uk xuk1 ak ,k 1,2, ,n Pn(x) un 只需 n 次乘法和 n 次加法。
理论上很完美的算法，在计算机上未必可用。
例1：Gramer 法则解线性方程组：n 阶方程组需计 算 n + 1 个行列式的值，每一个行列式的值需 (n1)n! 次乘法，共需 (n1)(n1)n!次 乘法。
例2：如建立
In0 1xx n5dx (n0,1,2, ,8)
的递推公式并作实际计算。
2020/9/11
1 6n
In1
1 5n
当 n = 9 时，有
1 54
I8
1 45
取
11 1 I82(5445)0.0204
2020/9/11
In1I5 n5 1 n (n8,7, ,1)
算法的优劣：
评价标准：(1) 计算量的大小 例：计算 P n ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
2020/9/11
➢ 现代数值分析是一门内容丰富、研究方法 深刻、实用性较强的数学课程。
➢ 研究对象：从科学与工程问题中抽象归纳 出来的数学问题。
一、 计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
例如： 1ex2dx0.7430.006 0
相对误差 ( relative error )
2020/9/11
➢通信卫星覆盖地球面积 实际问题
将地球考虑成
一个球体, 设 数学模型
R为地球半
径,h为卫星高 度,D为覆盖面
获取数据
在平面的投影
数值方法、程序
D
R
dxdy
R2 x2 y2
数据结果
2020/9/11
举例
1。求下列方程的根或零点：
x22xsinx10
（第四章的内容：非线性方程的数值解法）
工程数值分析题解
2020/9/11
2020/9/11
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
2020/9/11
2020/9/11
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析
能够做什么？
模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数学模型
观测误差 ( Measurement Error ): 通过测量得到模型中参数 的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）: 求近似解。求解数 学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引 起的误差 舍入误差 ( Roundoff Error ): 机器字长有限，通常用四舍五 入的办法取近似值，由此引起的误差.
Can you solve： (x1)100 0
Can you solve：
x100100x994950x98161700x97 3921225x96 100x10
2020/9/11
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（第八章的内容：数值积分）
2020/9/11
➢三种常用的技术: （1）求未知数据的迭代计算技术 （2）连续模型离散化处理技术 （3）离散数据的连续化处理技术
2020/9/11
教材 (Text Book) 现代数值分析 蔺小林、蒋耀林 编著（国防工业出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ）
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2. 与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
2020/9/11
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification )
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
➢工程数值分析 王立秋等编著（山东大学出版社）