图像小波变换
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图像小波变换
图像小波变换
图像小波变换
对lennaR做2层小波分解，得到C也是一个 1×65536的行向量，记录的是2尺度低频、2尺 度水平高频、2尺度垂直高频、2尺度对角高频、 1尺度水平高频、1尺度垂直高频和1尺度对角 A f ( x, y), D f ( x, y), D f ( x, y), D f ( x, y),D f ( x, y), D f ( x, y)）七个 D f ( x, y) 高频（ 部分的频率系数。下图中S是一个4×2的矩阵， 其第一行表明尺度2下的低频系数为64×64长 度；第二行表明尺度2下的高频系数为64×64 长度；第三行表明尺度1下的高频系数为 128×128长度；
图像小波变换
最后，我们来看一下这些频率系数的具体 内容：lennaR是一个256×256的二维信号，对 其做1层小波分解，得到C是一个1×65536的行 向量，记录的是低频、水平高频、垂直高频和 A f ( x, y), D f ( x, y), D f ( x, y), D f (x, y)）四个部分的 对角高频（ 频率系数。S是一个3×2的矩阵，其第一行表 明尺度1下的低频系数为128×128长度；第二 行表明尺度1下的高频系数为128×128长度； 第三行表明lennaR是一个256×256的二维信号。 lowf和highfH，highfD和highfV分别对应分离 出来的四个部分的系数矩阵。
S(1,:)=尺度level下的低频系数长度
图像小波变换
S(i,:)=尺度level-i+2下的低频系数长度 S(level+2,:)=原始信号的大小 3、原始信号通过两个共轭滤波器后，得到高、 低频两路信号。假设原始信号抽取256个点参 与计算，那么将得到512个频率数据，如此下 去冗余太大。所以，在滤波之后还要进一步抽 样以减少冗余。通行的方法是隔一数丢弃一个 数，从而保证滤波后的两路信号与原始信号数 据长度一致。这三个结论，对小波信息隐藏实 验有很大帮助。
(t )dt 0
或 C 0
( )
2
d
小波与小波变换简述
则称φ(t)为一个母小波函数(Mother Wavelet Function)。一个母小波函数有如下几个特点： ( ) (t )e dt 而， 1.因为， (t )dt 0 故 而(0) (t )dt 0 。也就是说，一个母小波函数 的直流分量(Direct current components)为0。换 句话说，就是母小波函数具有正负交替的特点， 其均值为0。
2 1 2 2 2 3 2
1 1 2 1
3 1
图像小波变换
第四行表明lennaR是一个256×256的二维 信号。lowf和highfH，highfD和highfV对应2尺 度下分离出来四个部分的系数矩阵。
图像小波变换
比较做1层分解和2层分解频率系数图， 可以发现MATLAB中的二维DWT有如下规律： 1、返回的频率系数（C向量中）以如下形式存放 C=[A(level)|H(level)|V(level)|D(level)H(level1)V(level-1)D(level-1)…|H(1)|V(1)|D(1)] 2、返回频率系数的同时，返回一个长度记录矩 阵S。S的格式为：
tj
2.一个母小波函数是一个带通信号。
小波与小波变换简述
3.母小波函数随t绝对值的变大而最终衰减为0。 即其函数表达式具有紧支集。下图是典型的小 波母函数和小波函数。
图像小波变换
二维信号的小波分解就可以写为：
2 3 Aj 1 f ( x, y) Aj f ( x, y) D1 f ( x , y ) D f ( x , y ) D j j j f ( x, y)
图像小波变换
《信息隐藏实验教程》教学幻灯片 六
பைடு நூலகம் 小波与小波变换简述
通俗的讲，小波(wavelet)是一种在有限 （小）区域内存在的波，是一种其函数表达式 具有紧支集，即在有限范围内函数f (x)不等于 零的特殊波形。假设存在一个时域函数φ(t)， 满足： f (t ) ( ) （f 表示fourier变换）
其中A为低频分量，D可以看为水平、垂直 和对角三个方向上的高频分量。
图像小波变换
这里，我们选用的二维图像信号仍然 是lenna.jpg。由于lenna是一个RGB图像， 我们仅对其R层进行实验。编写函数 wavelet2D.m来完成实验。实验结果如下 图所示。
图像小波变换
图像小波变换
清晰的反映了两重小波分解后的各个频率 段信号重构成的图像。可以发现，低频图像与 原始图像是非常近似的，而高频部分也可以认 为是冗余的噪声部分。所以，图像载体下的小 波分解信息隐藏算法一般的都是将信息隐藏于 分解后的低频部分，从而获得高的鲁棒性。当 然的，将信息隐藏于高频系数中，可以获得很 好的不可见性。不可见性与鲁棒性是信息隐藏 算法性能好坏的重要判定依据，二者可以看成 是一对矛盾。解决这一矛盾的方法是“折衷”。
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对lennaR做2层小波分解，得到C也是一个 1×65536的行向量，记录的是2尺度低频、2尺 度水平高频、2尺度垂直高频、2尺度对角高频、 1尺度水平高频、1尺度垂直高频和1尺度对角 A f ( x, y), D f ( x, y), D f ( x, y), D f ( x, y),D f ( x, y), D f ( x, y)）七个 D f ( x, y) 高频（ 部分的频率系数。下图中S是一个4×2的矩阵， 其第一行表明尺度2下的低频系数为64×64长 度；第二行表明尺度2下的高频系数为64×64 长度；第三行表明尺度1下的高频系数为 128×128长度；
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最后，我们来看一下这些频率系数的具体 内容：lennaR是一个256×256的二维信号，对 其做1层小波分解，得到C是一个1×65536的行 向量，记录的是低频、水平高频、垂直高频和 A f ( x, y), D f ( x, y), D f ( x, y), D f (x, y)）四个部分的 对角高频（ 频率系数。S是一个3×2的矩阵，其第一行表 明尺度1下的低频系数为128×128长度；第二 行表明尺度1下的高频系数为128×128长度； 第三行表明lennaR是一个256×256的二维信号。 lowf和highfH，highfD和highfV分别对应分离 出来的四个部分的系数矩阵。
S(1,:)=尺度level下的低频系数长度
图像小波变换
S(i,:)=尺度level-i+2下的低频系数长度 S(level+2,:)=原始信号的大小 3、原始信号通过两个共轭滤波器后，得到高、 低频两路信号。假设原始信号抽取256个点参 与计算，那么将得到512个频率数据，如此下 去冗余太大。所以，在滤波之后还要进一步抽 样以减少冗余。通行的方法是隔一数丢弃一个 数，从而保证滤波后的两路信号与原始信号数 据长度一致。这三个结论，对小波信息隐藏实 验有很大帮助。
(t )dt 0
或 C 0
( )
2
d
小波与小波变换简述
则称φ(t)为一个母小波函数(Mother Wavelet Function)。一个母小波函数有如下几个特点： ( ) (t )e dt 而， 1.因为， (t )dt 0 故 而(0) (t )dt 0 。也就是说，一个母小波函数 的直流分量(Direct current components)为0。换 句话说，就是母小波函数具有正负交替的特点， 其均值为0。
2 1 2 2 2 3 2
1 1 2 1
3 1
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第四行表明lennaR是一个256×256的二维 信号。lowf和highfH，highfD和highfV对应2尺 度下分离出来四个部分的系数矩阵。
图像小波变换
比较做1层分解和2层分解频率系数图， 可以发现MATLAB中的二维DWT有如下规律： 1、返回的频率系数（C向量中）以如下形式存放 C=[A(level)|H(level)|V(level)|D(level)H(level1)V(level-1)D(level-1)…|H(1)|V(1)|D(1)] 2、返回频率系数的同时，返回一个长度记录矩 阵S。S的格式为：
tj
2.一个母小波函数是一个带通信号。
小波与小波变换简述
3.母小波函数随t绝对值的变大而最终衰减为0。 即其函数表达式具有紧支集。下图是典型的小 波母函数和小波函数。
图像小波变换
二维信号的小波分解就可以写为：
2 3 Aj 1 f ( x, y) Aj f ( x, y) D1 f ( x , y ) D f ( x , y ) D j j j f ( x, y)
图像小波变换
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通俗的讲，小波(wavelet)是一种在有限 （小）区域内存在的波，是一种其函数表达式 具有紧支集，即在有限范围内函数f (x)不等于 零的特殊波形。假设存在一个时域函数φ(t)， 满足： f (t ) ( ) （f 表示fourier变换）
其中A为低频分量，D可以看为水平、垂直 和对角三个方向上的高频分量。
图像小波变换
这里，我们选用的二维图像信号仍然 是lenna.jpg。由于lenna是一个RGB图像， 我们仅对其R层进行实验。编写函数 wavelet2D.m来完成实验。实验结果如下 图所示。
图像小波变换
图像小波变换
清晰的反映了两重小波分解后的各个频率 段信号重构成的图像。可以发现，低频图像与 原始图像是非常近似的，而高频部分也可以认 为是冗余的噪声部分。所以，图像载体下的小 波分解信息隐藏算法一般的都是将信息隐藏于 分解后的低频部分，从而获得高的鲁棒性。当 然的，将信息隐藏于高频系数中，可以获得很 好的不可见性。不可见性与鲁棒性是信息隐藏 算法性能好坏的重要判定依据，二者可以看成 是一对矛盾。解决这一矛盾的方法是“折衷”。