第四章 差异量数剖析

二、平均差
(一)定义：平均差是指一组数据中， 每一个数据与该组数据的平均数离差的绝
对值的算术平均数，通常用AD表示。
（二）计算公式
Xi X AD
n
例1:有5名被试的错觉实验数据如下， 求其平均差。
被试
错觉量 （ms）
1
2
3
4
5
16
18
20
22
17
解：已知n=5 X =18.6ms
则
Xi X
方差与标准差大说明数据分布更离 散，数据偏离集中量数位置的程度更大。
方差与标准差小说明数据分布更集 中，数据偏离集中量数位置的程度更小。
方差与标准差是最常用的差异量数。
优点：① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 容易计算；④ 适合进一步代数运算； ⑤ 受抽样变动的影响小； ⑥ 简单明了。
缺点：应用方差和标准差比较两个不 同数据的次数分布，必须保证两数据的 单位相同。而且两数据的平均水平比较 接近。
AD
n
16 18.6 18 18.6 17 18.6
5
1.92ms
答：其平均差为1.92ms。
练习
甲乙两学生同一课程的五次测验成绩如下表，试 用平均数和平均差来简要分析这两位学生的学习情况。
一次
二次
三次
四次
五次
甲
92
90
89
81
88
乙
100
84
96
76
74
（三）平均差的意义及优缺点
平均差越大，数据分布越分散，平均数 对数据总体的代表性越差 。
即若 Yi X i C ，则 sY s X 。
（2）在一组数据中，每一个数据 都乘以一个相同的非零常数C，则 所得新数据的标准差等于原数据 的标准差乘以这个常数C 的绝对 值。 即若 Yi C X i ，则 sY C sX 。
（3）在一组数据中，每一个数据 都乘以一个相同的非零常数C，再 加一个常数d，则所得新数据的标 准差等于原数据的标准差乘以这 个非零常数C的绝对值。 即若 Yi C X i d 则 sY C sX 。
标准差是方差的算术平方根。一般样本的 标准差用 S 表示，总体的标准差用 表示。
标准差和方差是描述数据离散程度的最常 用的差异量数。
（二）方差和标准差的计算公式
1.原始定义公式
2
S2 Xi X n
2
S Xi X n
2.根据原始数据计算方差和标准差的公式
S2
Xi2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Xi 2
n n
练习
1.某次英语考试成绩标准差为5.1分，考 虑到这次题目太难，评分者给每个应试者都 加了10分，加分后成绩的标准差是多少？
2.已知一组数据：6、5、7、4、6、8的 标准差为1.29，把这组数据每个数都加上5 再乘以2则得到的新数据的标准差是多少？
2.意义
方差与标准差是表示一组数据离散 程度的最好的指标。
例1:通过下表比较6岁男童身高和体重的发展的 差异程度
表4—1 某市6岁男童体重与身高调查资料
体重 身高
平均数 19.4千克 115.8厘米
标准差 2.2千克 4.9厘米
解：
CV 1
S X
100 00
2.2 19.4
100
0
0
11.3 00
CV 2
S X
100 00
4.9 115.8
100
R＝Xmax－Xmin
R小说明离散程度小，数据分布比较整齐。
（三）全距的意义与应用
全距概念清楚，意义明确，计算简单，但 它仅由最大值与最小值而求得，易受两极端数 值影响。不考虑中间数值的差异，它反应不灵 敏，因此，它只是一种低效的差异量数。它的 用处一般只用于研究的预备阶段，用它检查数 据的大概散布范围，以便确定如何进行统计分 组。
描述数据离散程度的统计量称为差异量 数。它反映了次数分布中数据彼此分散的 程度。
差异量数越大，表明数据分布越分散、 不集中；差异量数越小，表明数据分布越 集中，变动范围越小。
常用的差异量数有全距、平均差、标准 差与方差等。
一、全距
（一）定义 全距是一组数据中的最大值与该组数据中最
小值之差，又称极差。用 R 表示。 （二）计算公式
5
2 1.414
答:其标准差为1.414。
解法2：
S
Xi2
X
i
2
n n
62
42
5
72
6
4
5
7
2
135 25 2 27 25 5 5
2 1.414
答:其标准差为1.414。
练习
计算6、5、7、4、6、8这组数 据的方差和标准差。
（三）运算性质和意义
1.运算性质
（1）在一组数据中，每一个数据 都加上一个相同的常数C，则所得的新 数据的标准差等于原来数据的标准差。
0
0
4.2 00
CV
1
CV
2
答：6岁男童在体重方面比身高方面更差异。
例2:比较两组女童体重的差异情况
表4—2 某市两组女童体重的调查资料
四、差异系数
（一）定义
差异系数是指标准差与其算术平均数 的百分比。它是没有单位的相对差异量
数。常以CV表示。
（二）计算公式
CV
S X
100 00
（三）差异系数的意义
比较不同单位资料的差异程度 。 比较单位相同而平均数相差较大 的两组资料的差异程度 差异系数常用于重量、长度、时 间等编制的好的测量量表。
平均差越小，数据分布越集中，平均数 对数据总体的代表性越强。
平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。 但计算时要用绝对值，不适合代数运算， 因此在进一步统计分析中应用较少。
三、方差和标准差
（一）定义：方差是指一组数据的离差平 方数的算术平均数。一般样本的方差用 S 2 表 示，总体的方差用 2 表示。
第四章 差异量数
思考
下列数据分布一样吗？ 1）8、9、10、13、13、14、14、15 2）3、5、 5、 7、 9、13、21、33
为什么要引入差异量数来描述一组数据 的特征？
在教育研究中，要全面描述数据的特 征，不但要了解数据的典型情况，而且还要 了解特殊情况。这些特殊性常表现为数据的 变异性。因此，只有集中量数不可能真实地 反映它们的分布情况。为了全面反映数据的 总体情况，除了使用集中量数外，还需要引 入差异量数。
S
Xi2
Xi 2
n n
原始数据的计算公式等价于定义公式，当两 个公式计算结果有出入时，应以原始数据计算公 式的结果为准，因其更准确。
例题
5名学生语文考试成绩为6、 4、3、5、7求其标准差。
解法1： X =（6+4+3+5+7）/5
=5
2
S Xi X n
(6 5)2 4 52 7 52