不定积分-不定积分的分部积分法

推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
=
−
x
cos uv
x+
∫
cos v
x dx du
=
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
(2) ∫ I2 = x2 sin x d x = −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x + 2( x sin x + cos x) + C
=
x(
cos x
x
)′
−
cos x
x
+
C
=
− sin
x
−
2 cos x
x
+
C
注 若先求出 f ′( x)，再求积分会更复杂.
解2 由题设
f
(
x)
=（cos x
x）′ =
−
x
sin
x−
x2
cos
x
f
′( x) =
(
−
x sin x − cos x
x2
)′
=L
∫
x
f
′(
x)dx
=∫
⎜⎛ ⎝
−
cos
x
+
= ∫ tan x d sec x
udv
= tan x sec x− ∫ sec3 x d x
uv
难度相当
= tan x sec x − （∫ tan2 x + 1）sec x d x
= tan x sec x − I − ln sec x + tan x + C
故 I = 1[tan x sec x − ln sec x + tan x ] + C 2
+
t
2
)
ln(1 t
+
t
2
)
⋅
2t 1+ t2
dt
∫ I = x ex dx ex−1
迎合分母
=
∫
(1
+
t
2
)
ln(1 t
+
t
2
)
⋅
2t 1+ t2
dt
= 2∫ ln(1 + t 2 )d t
udv
=
2t ln(1 +
t 2 )−
4∫
1+ t2−1 1+ t2
dt
= 2t ln(1 + t 2 ) − 4t + 4arctan t + C
In−2
=
1
1 −
n
cos x d(sin1−n x) + In−2
u
∫ ∫ (2) In =
xn
1 x
2
+
1
d
x
=
1+ x2 − x2 d x xn x2 + 1
∫ ∫ =
1+ x2 xn
d
x
−
In−2
=
1
1 −
n
1 + x2 d x1−n − In−2
u
综合题
例9 ∫ e x dx 令t = x 2 ∫ te t d t
∫ = 1 + x2 arctan x −
1
+
x2
⋅
1
1 + x2
d
x
∫ = 1 + x2 arctan x −
1 d x 令 x = tan t
1 + x2
∫ ∫ ∫ 1 d x =
1 sec2 t d t = sec t d t
1 + x2
1 + tan2 t
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x2 ) + C
= 2(t e t − e t ) + C = 2e x ( x − 1) + C
例10
I
=
∫
lncosx cos2 x
d
x=
∫
ln
cos x d udv
tan
x
= tan x ⋅ ln cos x + ∫ tan2 x dx
= tan x ⋅ ln cos x + ∫ (sec2 x − 1) dx
分析 取 u = ? u？= sin x, x d x = 1 d x2 = d v
2
∫ x sin x d x
∫ = x2 sin x − x2 cos x d x
2
2
更不易积分
显然，u 选择不当，积分更难进行.
解 （1）I1 = ∫ xsin x dx = −∫ x dcos x
简化
u dv
dv
“对反代三指” 法 ( 或称为“ LIATE ” 法).
选
L 对数函数
u 的
I
反三角函数
优
A
代数函数
先 顺
T
三角函数
序
E
指数函数
二、典型例题
例1 （1）I1 = ∫ x e x dx
= ∫ x dex u dv
= xe x − ∫ e x dx
uv v d u = xe x − e x + C
简化
故
In
=
−
1 cos n
x sinn−1
x+
n− n
1
In−2
同理
Jn
=
1 sin n
x cosn−1
x
+
n− n
1 Jn−2
例8
In
=
∫
(x2
d +
x a
2
)
n
，试导出递推关系.
udv
分析 欲将In表示成 In−1或In+1的表示式.
解
In=
(
x2
x + a2 )n
+
2n∫
(x2
x2 + a2
)n+1
∫ ∴ x arctan x d x 1 + x2 = 1 + x2 arctan x − ln( x + 1 + x2 ) + C .
例5 I = ∫ e x cos x dx = ∫ cos x d e x
dv
= e x cos x− ∫ e x dcos x
vdu
= e x cos x+ ∫ sin xe x dx
∫ ud v = uv − ∫ v d u —— 分部积分公式
(二) 分部积分法选 u 的一般原则：
∫ 设 f ( x )d x, 其中 f ( x ) = ϕ ( x )ψ ( x ).
(1) d v = ψ ( x ) d x
∫ψ ( x)d x 易积分 , v 易求 ;
(2) ∫ v d u 比 ∫ u d v 易积分 .
2 sin x
x
+
2 coHale Waihona Puke x2x⎟⎞ d ⎠
x
=L
∫ 例12 求 I =
xex dx ex−1
视
解 (方法1) 先分部 , 再换元
∫ ∫ I =
xex dx ex−1
=
x d (ex − 1) ex−1
ex 为整体 ex−1
= 2∫ x d ex − 1
udv
∫ = 2x ex − 1 − 2 ex − 1dx
I = 2x ex − 1 − 4 ex − 1 + 4arctan ex − 1 + C
∫ 例13 求 I =
earctan x dx .
(1 + x 2 )32
解 (方法1) 先换元, 后分部 令x = tan t , 则
∫ ∫ I =
et sec3
t
⋅
sec2
t
d
t
=
e t cos t d t
问： 能否取 u = e x ? 不行.
∫ ∫ xe x d x = 1 e x ⋅ 2 x d x 2 u dv
∫ ∫ = 1 e x d x 2 = 1 ( x 2e x − x 2 d e x )
2
2
∫ = 1 ( x 2e x − 2
x2e x d x)
更不易积分
推广
（2）I2 = ∫ x2ex d x = −∫ x2 d e x = − x 2e x+ ∫ e x dx2
难度相当
= e x cos x + e x sin x− ∫ e x cos x dx 注意循环形式
= e x cos x + e x sin x − I
I = 1 e x (sin x + cos x) + C 2
问: 选 u = e x 行吗？ 行.
∫ ∫ I = e x d(sin x ) = e x sin x − sin x d e x u ∫ = e x sin x − sin x ⋅ e x d x (第二次分部积分)
I = 2x ex − 1 − 4 e x − 1 + 4arctan ex − 1 + C
(方法2) 先换元, 再分部
∫ I = x ex dx . ex−1
为去根式 e x − 1
令 t = ex−1,
则
x
=
ln(1
+
t2
),
d
x
=
1
2t +t
2
d
t
∫ 故 I =
xex dx ex−1
=
∫
(1
x
dx=
∫
a rc tan
x d(
x2 2
)
udv
=
1 2
x2
arctan
x−
1 2
∫
1
x2 + x2
dx
=
1 2
x
2
arctan
x
−
1 2
∫
(1
−
1
1 +x
2
)
dx
简化
= 1 x2 arctan x − 1 ( x − arctan x) + C
2
2
I
∫ 例4 求积分
x arctan x d x. 1+ x2 A
= tan x ⋅ ln cos x + tan x − x + C
例11
已知
f ( x) 的一个原函数是
cos x
x
,
求∫
x
f
′(
x)
dx
.
解 由题设 f ( x) =（cos x）′ ，
x
∫
f
(x)d
x
=
cos x
x
+
C1
故 ∫ x f ′( x)dx = ∫ x d f ( x) = x f ( x)− ∫ f ( x)dx
dv
dv
vdu
= − x2e x + 2∫ e x xdx
I1 = − x2e x + 2（xe x − e x）+ C
简化
In
= ∫ xne x d x
dv
令u =
xn xne x
− n∫ xn−1e x d x
In = x ne x − nIn−1
例2 (1)I1 = ∫ x sin x d x
例7 In = ∫ sinn x d x （n ≥ 2,自然数），
试导出递推关系.
cos2 x = 1 − sin2 x
解 In = ∫ sinn−1 x d(− cos x)
udv
= − cos x sinn−1 x +（n − 1）∫ cos2xsinn−2 x d x
uv
= − cos x sinn−1 x
+ 2n In − 2na2In+1
递推公式:
In
=
∫
(x2
dx + a2)n
In+1
=
1 2na2
(x2
x + a2 )n
+
2n − 1 2na2
In
类似题：
∫ ∫ (1) In =
1 sin n
dx x
=
1
−
sin2 x + sin2 sinn x
x
d
x
∫ ∫ =
cos2 sinn
x x
d
x
+
解Q
( 1 + x2 )′ =
x, 1+ x2
选 L 对数函数
u I 反三角函数 的 优 A 代数函数 先 T 三角函数 顺 序 E 指数函数
∫ ∫ ∴ x arctan x d x = arctan x d 1 + x2
1 + x2
u
∫ = 1 + x2 arctan x − 1 + x2 d(arctan x)
第4章
第三节 不定积分的分布积分法
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 分部积分公式 由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′
积分得 uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx
公式的作用： 改变被积函数
+ (n − 1)∫ sinn−2 x d x− (n − 1)∫ sinn x d x
In = ∫ sinn x d x = − cos x sinn−1 x J n = ∫ cos n x d x
+ (n − 1)∫ sinn−2 x d x − (n − 1)∫ sinn x d x
= − cos x sinn−1 x +（n − 1）In−2 −（n − 1）In （n ≥ 2, n ∈ N）
∫ ∫ I = x ex dx = 2x ex − 1 − 2 ex − 1dx ex−1
令t =
ex−1,
则
dx
=
2t 1+ t2
dt
∫ ∫ I = 2x ex − 1 −
4t 2 1+ t2
dt = 2x
e x − 1 −4
t
2 +1 1+ t