泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章 预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο 这样当1<<∆x 时可得近似公式 x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000

或

))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x

即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗因此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

Taylor 公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （）

从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．

我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢

假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= 于是得：)(00x f a =

求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!

2)

(02x f a ''=

这样进行下去可得：

!

3)

(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n =

因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：

k n

k k n

n x x k x f x x n x f x x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(00

0)(00)(000-=-++-'+=∑= （）

即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!

)(...)(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+=

称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!

)

(0)(k x f k ),...,3,2,1(n k = ，称

为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．

Taylor 公式的各种余项

对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗如果可以，那怎样估计误差呢下面的

Taylor 定理就是回答这个问题的．

定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)

假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为

10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ

其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有

10)1(00)(000)()!

1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n n

n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ

推论1]10[ 当0=n ，（）式即为拉格朗日中值公式：

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2]10[ 在定理1中,若令

)0()()1(!

)

()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p f x R n p n n n θξ

则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中00

x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日

型余项．若令1=p ，则得

)0()()1(!

)

()(1

0)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,

此式称为柯西余项公式． 当00=x ，得到泰勒公式：

1

1)(2)!

1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （）

则（）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式） 若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，

则有