2021年江苏高考数学一轮复习完整学案讲义(共72个专题)

全国卷五年考情图解高考命题规律把握

说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式

本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.

2.考查内容

从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算．常用逻辑用语主要从两个方面考查：充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常以比较大小的方式命题．基本不等式一般不单独考查.

3.备考策略

(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律

①集合的交、并、补集运算问题；

②充分条件、必要条件的

判断问题；

③含有一个量词的命题的

否定问题；

④一元二次不等式的解法

及基本不等式的应用.

(2)重视数形结合、分类讨

论、转化与化归思想的应

用.

第一节集合

[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号N N*(或N

)Z Q R

＋

2.

关系自然语言符号语言Venn图

子集集合A的任意一个元素都是集合B

的元素(即若x∈A，则x∈B).

A⊆B或(B⊇A)

真子集如果A⊆B且A≠B A B或B A

集合相等如果两个集合所含的元素完全相

同(即A中的元素都是B中的元

素，B中的元素也都是A中的元

素)

A＝B

3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图

交集由属于集合A且属

于集合B的所有元

素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且

x∈B}

并集由所有属于集合A

或属于集合B的元

素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或

x∈B}

补集设A⊆U，由U中不

属于A的所有元素

组成的集合称为U

的子集A的补集

∁U A＝{x|x∈U且x∉

A}

[常用结论]

1．非常规性表示常用数集

{x|x＝2(n－1)，n∈Z}为偶数集，{x|x＝4n±1，n∈Z}为奇数集等．

2．集合子集的个数

对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

3．集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；

∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．

( )

(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}． ( )

(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1. ( )

(4)直线y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点组成的集合是{1,4}．

( )

[答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编

1．若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A

D ．a ∉A

D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]

2．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，则集合M ∪N 的子集的个数为________．

64 [∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}， ∴M ∪N ＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M ∪N 的子集有26＝64个．]

3．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________.

[答案] {x |x 是直角} 4．方程组⎩⎨

⎧

x ＋y ＝1，

2x －y ＝1

的解集为________．

⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪

⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13 [由⎩⎨

⎧

x ＋y ＝1，

2x －y ＝1，

得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝23，y ＝13

，

故方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13.]

5．已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.

(－2,1) (－∞，3) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}，

∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，A ∪B ＝{x |x ＜3}．]

考点1 集合的概念

与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．

(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．

1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，

则A 中元素的个数为( )

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以

x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 1

3＝9，故选A.]

2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． －3

2 [由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－3

2

.

当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；