层次分析法算法文档

目录

1 引言 (2)

2 层次分析算法的基本原理 (2)

2.1 层次结构图 (2)

2.2 构造比较矩阵 (3)

2.3 相对权向量确定 (4)

2.4 一致性检验 (4)

2.5 计算组合权向量和组合一致性检验 (5)

3 算法的具体实现流程 (6)

3.1 算法流程图 (6)

3.2 实现步骤 (7)

3.3 数据准备与预处理 (8)

4 层次分析算法程序实现 (9)

4.1 程序使用说明 (9)

4.2 程序源代码 (9)

4.3 程序运行 (15)

参考文献 (16)

层次分析算法

1 引言

人们在日常生活中常常会碰到很多决策问题，需要考虑的因素有多有少，有大有小，并且不同的因素对于决策的重要性、影响力以及优先程度都不同，并且这些因素的共同特点都是通常涉及到经济、社会、人文等方面的因素，故难以量化，人的主观选择起着相当重要的作用。这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。故引入层次分析法来处理这一类问题。该法由T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出。这是一种定性和定量相结合的，系统化的，层次化的方法。层次分析法的优点有系统性、实用性、简洁性等。但其也有缺点及局限性。它只能从原有方案中选优，不能生成新方案，其比较、判断直到结果都比较粗糙，不适合用于精度要求较高的问题。还有就是在给出对比矩阵时人的主观因素影响很大。

2 层次分析算法的基本原理

2.1 层次结构图

层次分析法解决问题的基本思想与人们对一个多层次、多因素、复杂的决策问题的思维过程基本一致，最突出的特点是分层比较，综合优化．其解决问题的基本步骤如下：

(1) 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，一般层次结构分为三层，第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为方案层。

(2) 构造两两比较矩阵（判断矩阵）,对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，构造出两两比较的判断矩阵。

(3) 由比较矩阵计算被比较因素对每一准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验。

(4) 计算方案层对目标层的组合权重和组合一致性检验，并进行排序。

图6-1：层次结构图

利用层次分析法研究问题时，首先要把与问题有关的各种因素层次化，然后构造出一个树状结构的层次结构模型，称为层次结构图。一般问题的层次结构图分为三层，如图6-1所示。

最高层为目标层(O): 问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。

中间层为准则层(C): 包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当准则多于９个时可分为若干个子层。

最低层为方案层(P): 方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。 一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同。实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定。

2.2 构造比较矩阵

构造比较矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用。而不是把所有因素放在一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响。

设要比较n 个因素n C C C ,,,21 对上一层（如目标层）O 的影响程度，即要确定它在O 中所占的比重。对任意两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响程度之比，按１～９的比例标度来度量),,2,1,(n j i a ij =。于是，可得到两两成对比较矩阵n n ij a A ⨯=)(，又称为判断矩阵，显然

0>ij a ,),,2,1,(,1,1

n j i a a a ii ij

ji ===

因此，又称判断矩阵为正互反矩阵。

表6-1： 比例标度值

标度ij a 含 义

1 i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5 i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强

9 i C 比j C 的影响绝对地强

2,4,6,8 i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间

9

1

,,21 i C 与j C 的影响之比为上面ij a 的互反数

比例标度的确定：ij a 取１～９的９个等级，而ji a 取ij a 的倒数（见表6-1）。 由正互反矩阵的性质可知，只要确定A 的上（或下）三角的2

)

1(-n n 个元素即可。在特殊情况下，如果判断矩阵A 的元素具有传递性，即满足

),,2,1,,(n k j i a a a ij kj ik ==

则称A 为一致性矩阵，简称为一致阵。

2.3 相对权向量确定

相对权向量的确定有多种方法，一般分为和法、求根法（几何平均法）及特征根法。在本次项目中我们采取的相对较为容易的和法来确定特征根。其具体算法如下：

取判断矩阵n 个列向量归一化后的算术平均值，近似作为权重，即

),,2,1(11

1

n i a a n w n j n k kj

ij

i ==∑∑==

类似地，也可以对按行求和所得向量作归一化，得到相应的权重向量。

2.4 一致性检验

通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性。实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的6-2。

表6-2：随机一致性指标

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.56 1.58 1.59