现实世界中的数学模型
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并求解, 并做出解的图形并与指数增长模型, 阻滞增长
模型的结果进行比较.
令
h f g ,
则 h C 0, , 因 2
h f g 0, 2 2 2
h 0 f 0 g 0 0,
第四节 建立数学模型的方法和步骤
f 0 0, g 0 0.
则问题归结为是否存在 0 0, , 使得 2
f 0 g 0 0.
解模
由条件对任意 ，有 f
0, g 0. 且
f 0, g 0. 2 2
解中的各个变量寻找数学上的关系，从而找出这些关系
的实际意义； 六、模型检验——用以往的数据对模型进行检验，以考 察该模型是否具有实际意义；
七、模型的应用——对通过检验的模型再应用于实际中。
练习
1.怎样解决下面的实际问题, 包括需要哪些数据资料?
做些什么什么观察和实验? ⑴估计一个人体内的重量; ⑵估计一种日光灯的寿命; ⑶决定十字路口的交通灯信号的设计;
思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件
下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、 主观性、偶然性等缺点。
四、符号模型 用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征， 这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构 表等。
五、数学模型 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问 题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的 例子。
模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。
原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某
种目的有关的那些方面和层次。 模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
一、形象模型 根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
建模 设椅子的四只脚位于点
设f
g 为 B, D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
为 A, C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
B1
B
y
C f g 0 0, . 2
o
A1 A
x
D1
C1
D
注意到： f , g C 0, , f 0, g 0. 并且 2 椅子的四脚落地意味着 f g 0. 故不妨假设
第一章
现实世界中的数学模型
第一节 现实世界的模型
在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词 并 不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、 “生物
“原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 模型”等。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生
产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过 程等词汇来描述相应的对象。
二、物理模型 物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原 理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似 特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的 某些规律。
三、思维模型 思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识 以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直 觉作出相应的决策。
水航行时有关系
第二节
数学建模的重要意义
一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。 二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少
的工具。 三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓
了许多新的处女地。
四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。
例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且
假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。 求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为 y，则当顺
⑷一高层办公楼有4部电梯, 早上班时非常拥挤, 试指定 合理的运行计划. 2.在椅子放稳问题中, 将椅子改为长方形的办公桌, 该如
何解决这个问题. 3.在人口增长模型中, 假定人口增长服从这样的规律: 时
刻 t 的人口为 x t , 从 t 到 t t 时间人口的增量与
xm x t 成正比, （其中 xm为最大容量）, 试建立模型
第三节 数学模型的例子
一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能
的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一
个四方形的顶点上；
假设2
假设3
ห้องสมุดไป่ตู้
地面是一张连续变化的曲面；
在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
A, B, C, D,其连线构 成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 AC , BD 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
从上面的几个例子中我们看到建立数学模型的基本方 法为： 一、模型的准备——了解问题和问题的特征； 二、模型的假设——对问题作出某些必要和合乎实际的 假设； 三、模型的建立——用适当的数学关系来刻画问题的内 部关系；
四、模型的求解——用适当的数学工具，对模型中的数 学关系进行求解； 五、模型的分析——对求出的解进行数学上的分析：对
模型的结果进行比较.
令
h f g ,
则 h C 0, , 因 2
h f g 0, 2 2 2
h 0 f 0 g 0 0,
第四节 建立数学模型的方法和步骤
f 0 0, g 0 0.
则问题归结为是否存在 0 0, , 使得 2
f 0 g 0 0.
解模
由条件对任意 ，有 f
0, g 0. 且
f 0, g 0. 2 2
解中的各个变量寻找数学上的关系，从而找出这些关系
的实际意义； 六、模型检验——用以往的数据对模型进行检验，以考 察该模型是否具有实际意义；
七、模型的应用——对通过检验的模型再应用于实际中。
练习
1.怎样解决下面的实际问题, 包括需要哪些数据资料?
做些什么什么观察和实验? ⑴估计一个人体内的重量; ⑵估计一种日光灯的寿命; ⑶决定十字路口的交通灯信号的设计;
思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件
下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、 主观性、偶然性等缺点。
四、符号模型 用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征， 这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构 表等。
五、数学模型 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问 题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的 例子。
模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。
原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某
种目的有关的那些方面和层次。 模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
一、形象模型 根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
建模 设椅子的四只脚位于点
设f
g 为 B, D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
为 A, C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
B1
B
y
C f g 0 0, . 2
o
A1 A
x
D1
C1
D
注意到： f , g C 0, , f 0, g 0. 并且 2 椅子的四脚落地意味着 f g 0. 故不妨假设
第一章
现实世界中的数学模型
第一节 现实世界的模型
在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词 并 不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、 “生物
“原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 模型”等。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生
产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过 程等词汇来描述相应的对象。
二、物理模型 物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原 理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似 特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的 某些规律。
三、思维模型 思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识 以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直 觉作出相应的决策。
水航行时有关系
第二节
数学建模的重要意义
一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。 二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少
的工具。 三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓
了许多新的处女地。
四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。
例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且
假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。 求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为 y，则当顺
⑷一高层办公楼有4部电梯, 早上班时非常拥挤, 试指定 合理的运行计划. 2.在椅子放稳问题中, 将椅子改为长方形的办公桌, 该如
何解决这个问题. 3.在人口增长模型中, 假定人口增长服从这样的规律: 时
刻 t 的人口为 x t , 从 t 到 t t 时间人口的增量与
xm x t 成正比, （其中 xm为最大容量）, 试建立模型
第三节 数学模型的例子
一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能
的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一
个四方形的顶点上；
假设2
假设3
ห้องสมุดไป่ตู้
地面是一张连续变化的曲面；
在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
A, B, C, D,其连线构 成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 AC , BD 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
从上面的几个例子中我们看到建立数学模型的基本方 法为： 一、模型的准备——了解问题和问题的特征； 二、模型的假设——对问题作出某些必要和合乎实际的 假设； 三、模型的建立——用适当的数学关系来刻画问题的内 部关系；
四、模型的求解——用适当的数学工具，对模型中的数 学关系进行求解； 五、模型的分析——对求出的解进行数学上的分析：对