第二章用拉格朗日方程建立系统数学模型
汽车系统动力学第二章 车辆动力学建模方法及基础理论
第二章车辆动力学建模方法及基础理论§2-1 动力学方程的建立方法在车辆动力学研究中，建立系统运动微分方程的传统方法主要有两种：一是利用牛顿矢量力学体系的动量定理及动量矩定理，二是利用拉格朗日的分析力学体系。
本节将对这两种体系作一简单回顾，并介绍几个新的原理。
一牛顿矢量力学体系(1)质点系动量定理质点系动量矢p对时间的导数等于作用于质点系的所有外力F i的矢量和(即主矢),其表达式为:二、分析力学体系分析力学是用分析的方法来讨论力学问题，较适合处理受约束的质点系。
(1)动力学普遍方程动力学普遍方程由拉格朗日(Lagrange)于1760年给出的，方程建立的基本依据是虚位移原理，表示如下：(2-6)(2)拉格朗日方程拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能和总势能均以系统变量的形式表示，然后将其代入拉格朗日方程，再对其求偏导数，即可得到系统的运动方程。
拉格朗日方程形式如下：利用此方程推导车辆动力学方程时，因采用广义坐标，从而使描述系统位移的坐标数量大大减少，并可以自动消去无功内力。
但也存在下述问题：①应用拉格朗日方程时，有赖于广义坐标选取得是否得当，而适当地选择广义坐标有时要靠经验；②拉格朗日能量函数对于刚体系统的表达式可能非常复杂，代人拉格朗日方程后要作大量运算。
而对于复杂的车辆系统，写出能量函数的表达式就更加困难。
三、虚功率原理若丹(Jourdain)于1908年推导出另一种形式的动力学普遍方程，其所依据的原理称之为虚功率原理。
虚功率形式的动力学普遍方程为：四、高斯原理1829年，高斯(Gauss)提出动力学普遍方程的又一形式，称为高斯原理，其表达式为：§2-2 非完整系统动力学一、非完整系统动力学简介1894年，德国学者Henz第一次将约束系统分成“完整”和“非完整”两大类，从此开辟了非完整系统动力学(Nonholonomie System)的新领域，如今它已成为分析力学的一个重要分支。
拉格朗日方程的应用
n=1
显然
QnD
=
1 2
∂WD ∂qn
定义耗散函数 D
D
=
1 2
WD
则
QnD
=
− ∂D ∂qn
接着分析保守力 Qnv
假设忽略重力的影响，保守力可等于与位移成正比
Qnv = −knqn
Kn——弹簧刚度
则
Un
=
+
1 2
kn qn2
Un ——保守力 Qnv 的 F 做的功，即势能的改变量
则 系统总的势能改变量为：
∴ 整理得：
Jθ&&0 + bθ&&0 + (k + QR)θ0 = −Jθ&&0 − QRθC
拉格朗日方程在建模中应用的例子（张晓华书 70）
龙门吊车运动控制问题 1．问题的提出
龙门吊车作为一种运载工具，广泛应用于现代工厂，安装工地和集装箱货运场及室内 外仓库的装卸与运输作业，离地面很高的轨道上运行，具有占地面积小，省工省时的优点
根据达朗伯原理和虚位移原理并引进广义坐标的概念，可以推导出运动质点或质点系 的拉格朗日（第二类）方程
d ⎛ ∂T
dt
⎜ ⎝
∂q& n
⎞ ⎟ ⎠
−
∂T ∂qn
= Qn
（3-6-1）
下标中 n =1，2，…，S 是系统统立广义坐标的编号 S——独立广义坐标的总数（自由度） T——系统总的动能
Qn ——第 n 个广义坐标方向的广义力
能）究竟把谁者作是动能或势能可以随意选定，只是不能同时把二者看作功能或同时看作
势能即可。
例 3-6-4 图示双回路电路，试用拉格朗日方程建立其系统的微分方程。
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
拉格朗日第二类方程
拉格朗日第二类方程
拉格朗日第二类方程是经典力学中的基础概念之一。
它描述的是质点
在一定约束下的运动，是建立在尺度不变性原理的基础上的。
下面我
将按照以下列表分别介绍拉格朗日第二类方程的定义、推导过程以及
其应用。
1. 定义：
拉格朗日第二类方程是描述系统动力学的数学模型，它是由勒让德在1797年建立的，具体形式为：
d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ
其中，L是系统的拉格朗日函数，q是系统的广义坐标，Q是系统的非
保守力。
2. 推导过程：
拉格朗日第二类方程的推导主要分为以下几个步骤：
第一步，构建系统的拉格朗日函数，即L=T-V，其中T是系统的动能，V是系统的势能。
第二步，求出系统的广义动量pᵢ=∂L/∂qᵢ。
第三步，对广义动量求导得到系统的加速度aᵢ= d/dt (∂L/∂qᵢ)。
第四步，根据牛顿第二定律F=ma以及广义动量的定义pᵢ=∂L/∂qᵢ，将非保守力Q用广义动量表示为Qᵢ=∂V/∂qᵢ。
第五步，代入广义动量和非保守力的表达式，得到拉格朗日第二类方程d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ。
3. 应用：
拉格朗日第二类方程是经典力学中最基础的方程之一，它在物理学的各个领域都有广泛的应用，如
（1）陀螺的运动学研究
（2）杆的运动学研究
（3）学习简谐振动的方程
（4）学习经典电动力学中的运动方程
（5）学习光学中的光路方程等
总之，拉格朗日第二类方程在物理学研究中有着重要的地位，熟练掌握它的概念和应用对于探究自然界的规律和解决实际问题都具有重要作用。
结构动力学习题解答
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
用拉格朗日方程建模
用拉格朗日方程建模拉格朗日方程是一种用于建模力学系统的数学工具。
它是由意大利物理学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在18世纪末发展起来的。
拉格朗日方程的一般形式为：L(q, \dot{q}, t) - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot{q}} \right) = 0其中，L是系统的拉格朗日函数，q是系统的广义坐标，\dot{q}是广义坐标对时间的导数，t是时间。
这个方程描述了系统中的运动，通过变分原理，我们可以得到系统的运动方程。
具体地，假设我们有一个质点在一维空间中运动，质点的动能为T，势能为V。
我们可以建立如下的拉格朗日函数：L = T - V其中动能T可以写成质点速度v的函数：T = \frac{1}{2} m v^2质点的位置可以用广义坐标q表示，质点的速度就是广义坐标对时间的导数：v = \frac{dq}{dt}将上述表达式代入拉格朗日函数中，我们可以得到：L(q, \dot{q}, t) = \frac{1}{2} m \left( \frac{dq}{dt} \right)^2 - V(q) 然后，我们可以根据拉格朗日方程的形式，计算出左边的导数部分：\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) =\frac{d}{dt} \left( m \frac{dq}{dt} \right) = m \frac{d^2q}{dt^2}将这个结果代入拉格朗日方程中，同时令方程等于零，我们得到：\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - L(q, \dot{q}, t) = m \frac{d^2q}{dt^2} - \frac{1}{2} m\left( \frac{dq}{dt} \right)^2 + V(q) = 0这个方程描述了质点在一维空间中的运动。
拉格朗日方程
d ∂L ∂L ( )− =0 & dt ∂θ ∂θ
d ∂L 1 2 && & = 3 ml θ d t ∂θ
∂L = −kb 2θ ∂θ
1 2 && ( ml )θ + kb 2θ = 0 3
3kb 2 & θ& + 2 θ = 0 ml
3kb 2 2 ωn = ml 2
n
ωn为圆频率
2 2
ωn 频率：f n = 2π
ri = ri ( q1 , q 2 , L , q k , t ) 则： v i = dri = 因： dt & & & 即： vi = vi (q1 , q2 , L , qk , q1 , q2 , L , qk , t )
广义速度
∂ri ∂r &j + i ∑ ∂q q ∂t j =1 j
k
'
m2 g
δθ
B
δ Wθ Qθ = =0 δθ
δθ ≠ 0
代入拉格朗日方程： 代入拉格朗日方程：
& & (m1 + m2 )&& + m2 Lθ&cosθ − m2 Lθ 2 sinθ + kx = F (t ) x 1 & m2 (2l )2θ& + m2 L&&cosθ + m2 gLsinθ = 0 x 3
动力学的基本方法
牛顿定律
•动量定理 动量定理 •动量矩定理 动量矩定理 •动能定理 动能定理
达朗贝尔原理//动静法 达朗贝尔原理 动静法
虚位移原理
动力学普遍方程
02-课件：5-6 拉格朗日法动力学建模(四连杆机械臂)
动力学方程的推导
求拉格朗日函数：
L Kt P
1 2
ni i i1 j 1 k 1
TraceqTi iI
i
TiT qk
q j qk
1 2
n I ai qi2
i 1
n
mi gT Ti i ri ,
i 1
n 1,2
动力学方程的推导
求动力学方程，先求导数：
L
q p
1 2
n i1
k
i 1
Trac
p rp
注意：上述惯量项与 重力项在机械手的控 制中特别重要，它们 将直接影响到机械手 系统的稳定性和定位 精度。只有当机械手 高速运动时，向心力 和哥氏力才变得重要。
3rp
link3
3 rpT
dm)
T3 qk
T
jk
动能和位能的计算
任何机械手上任一连杆i动能为：
Ki
dKi
link i
1
Trace
i
i
2
j 1 k 1
Ti q j
I i qTi k qq j
k
具有n个连杆的机械手总的动能为 ：
K
n
Ki
i1
1
n
n
Trace
i
2 i1
j 1 k1
dKi
1
Trace
i
i
2
j 1 k1
Ti q j
j r ir T
TiT q k
qqdm j k
1
Trace
i
i
2
j 1 k1
Ti (i rdmi r T ) T q j
TiT q k
高等结构振动学-第2章-用拉格朗日方程建立系统数学模型
2muu
[Mg
L 2
0 mgu]sin
0
以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方 程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统 降阶的途径。 2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用
3
对一维连续系统，假设位移为：
N
u(x.t) i (x)qi (t) i 1
d dt
(
T qi
)
T qi
U qi
Qi
(i 1, 2, 3, N )
（2－5）
（推导：）
将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变
分驻值原理），有
t2
t1
(
T q1
q1
T q2
q2
T q N
q N
T q1
q1
f j (q1, q2 ,qM ) 0 ( j 1,2,C)
(i 1,2,M )
(2－43)
联立上两个方程，就可确定 M+C 个未知数 qi , j (i 1,2,M ; j 1,2,C)
【应用实例】
求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。
【解】令，
u(x,
t)
(
x L
D q
0
（2－15）
如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励
力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为 Qi ），则系统的拉 格朗日方程为：
d dt
(
T qi
)
T qi
单摆的数学模型
g && + θ θ = 0 l
模型假设
下面用拉格朗日来建立数学 模型，因质点作圆弧运动，故 质点坐标的约束方程为
x + y =l
2 2
2
显然，系统只有一个自由度，因而 广义坐标只需一个，可以选弧长s为广 义坐标，也可选取线对铅直位置的夹角 θ，此处选取θ作广义坐标简单些，由 几何关系有
x = l cosθ y = l sin θ
单摆的数学模型
本文用拉格朗日方程建立 了单摆的数学模型
主 要 内 容
问题分析 模型假设 拉格朗日模型建立 进一步思考的问题
质量为m的球用长为l的细线悬挂在o 点，如图
o y
θ
l
y
x
Tr
m
mg cos θ
s = lθ
x
mg
mg sin θ
在地球引力作用下作往复 摆动，若不记线的质量，侧称 次系统为单摆，试求摆球 m的 运动规律（不计其他阻力）。 时间t为自变量，细线与垂线的 摆角为未知函数 θ (t )，设逆时针 方向为 θ 的正向。
问题分析
先分析摆球在运动时的受力 情况，当摆线偏角为θ (t ) 时，重 力mg在运动方向的投影为 mgsinθ 它将摆拉向平衡位置，重力mg在 Om连线方向上的分力与线的张力 相平衡，右牛顿第二定律，有
&& = − mg sin θ mlθ
或写为
&& = −mg sin θ mlθ
上式就是单摆运动的数学 模型，为一个二阶非线性常 微分方程。 当θ 充分小时，即摆球作 小振幅摆动时， θ ≈ θ ，故 sin 可得到近似 的模型：
质点的动能为
1 1 2 2 2 2 T = m ( x + y ) = ml θ 2 2
(经典)拉格朗日方程
2
d dt
(
Lr )
mr,
L mr 2 mg sint
r
代入拉氏方程得
r 2r g sint
第14页，共40页。
（2）
上式为二阶线性常系数非齐次微分方程。设
r1 sint sint
（3）
是（2）式的一个特解，将（3）式对t求二次导数，得
2.1 分析力学的基本概念
2.1.1 约束、自由度
（1）约束
限制体系各质点的自由运动的条件称为约束。约束的数学表达称为 约束方程。例如一质点限制在xy平面上运动，其约束方程为： Z=0。
如果约束只是限制质点的几何位置，称为几何约束或完整约束，约束方程 为
f
(r1
,
r2
,rn
;
t
)
0
（2.1）
第3页，共40页。
(q1
,
q2
,,
qs
,
t
)
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
,
ri qs
qs
s 1
ri q
q
,
1,2,, s
（2.7） (2.8)
将（2.8）式代入（2.6）式：
n
( Fi
i 1
m
i
ri
).
s 1
ri q
q
sn [ (Fi
1 i1
mi
ri
).
ri q
]q
0
因 q 是独立的，所以
如果约束除了限制质点的位置外，还要限制质点的运动速度则称为
运动约束或微分约束，约束方程为
第2章拉格朗日方程
1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚， 从此数学不再仅仅是其他学科的工具。
拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球 运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了 历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。
1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微 分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于 1766年获奖。
1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学 家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。 在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的 方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。
倒立摆的概述
第一章引言1.1倒立摆系统概述1.1.1倒立摆系统所谓倒立摆，就是让摆处于倒置不稳定状态，需要人为不停地控制使其处于倒置的动态平衡的一种特殊的摆。
倒立摆系统可以抽象的看作是一种重心在上，而支点在下的控制问题，在没有外力干涉其状态的情况下，倒立摆系统很容易且很快速就能发生复杂、不可预知的变化。
因此，在相关研究领域，倒立摆是机器人技术、控制理论和计算机控制等多方面有机结合，其控制系统更是一种非常复杂的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。
1.1.2倒立摆系统的分类最早的倒立摆仅仅只是单级直线型的。
随着科技的进步和控制理论的发展，人们在此基础上又进行了拓展。
现在的倒立摆系统已经又传统的直线一级倒立摆发展成很多种不同的倒立摆系统。
倒立摆的分类可以有很多种方法，根据不同的分类角度，可以分成不同形式的倒立摆。
下面，简单的介绍一下倒立摆的“家族成员”：1.倒立摆系统按照摆杆的运动形式来分可以分为以下几种：（1）直线倒立摆；（2）环形倒立摆；（3）平面倒立摆。
2.依据摆杆数目不同，可以把倒立摆系统分为有一级倒立摆、二级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，甚至还有级数更高的倒立摆。
倒立摆的级数越高，控制的难度就越大。
所以一级倒立摆通常用于控制理论的基础实验，而多级倒立摆多用于控制算法的研究；3.据多级摆杆间连接形式的不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；4.依据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道的倒立摆；5.依据摆杆材质的不同，可以把倒立摆系统分为刚性倒立摆和柔性倒立摆；1.1.3倒立摆的特性倒立摆系统结构样式多种多样，分类方式繁多，但不管倒立摆系统具有怎样的形式和结构，倒立摆系统都是一种复杂的快速、非线性、多变量、强耦合、自然不稳定系统。
而这些特性也是倒立摆系统控制的难点和研究热点所在。
倒立摆系统的特性如下：（1）非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
2.Lagrange力学(中科大) 拉格朗日力学
③伺服系统等控制问题中，非线性非完整约束很普遍；但是这里对速度的约束和对变分的约束， 需要根据具体问题而定，一般没有确定的关系，没有必要满足 Chetaev 条件、Vacco 条件或者其 它什么事先假定的条件。
关于非线性非完整系统力学，后面不再讨论。感兴趣的同学可以参考专著，例如
《非完整动力学研究》，梅凤翔著，北京工业学院出版社，1987。
虚位移为（Jourdain 变分）
⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ⃗ ( ) ⃗ ( ))
⃗
注意这里的 ⃗ 不需要是无穷小量， ⃗ 的物理意义也不是速度 ⃗̇ 。
(2) 约束条件 完整约束和线性非完整约束对 Jourdain 变分的限制分别为
(⃗ ) ⃗ ⃗̇ 注意到 ⃗ 也是可能位移，可得
⃗⃗ ⃗⃗
《非完整系统的运动方程和力学的变分原理——新一类控制问题》，C. A. 杰格日达, Ш. X. 索尔塔哈诺夫, M. П. 尤士科夫著，北京理工大学出版社，2007。
(6) 例题 例 单摆垂直平面中运动，用 d’Alembert 原理推导运动方程。
解 建立坐标系：以向下为 轴，水平为 轴。
设绳长为 ，约束条件是
̇
每一个完整约束减少一个位形自由度，非完整约束减少一个独立变分（即运动自由度）。
非线性非完整约束： 力学中没有找到实例。 在伺服控制问题中，需分析具体模型。位形的约束条件与变分的约束条件之间，没有固定
的关系。
关于非完整系统的说明*
①线性非完整约束在力学范围内没有歧义，这种约束一般来自滚动问题（以及冰刀）。这时从物
������
������ 可以取摆线与垂直方向的夹角 为独立广义坐标，
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王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
倒立摆模型推导
倒立摆系统模型研究控制系统的数学模型是描述系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。
在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程称为静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态数学模型。
如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，则可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。
因此，建立控制系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的首要工作。
系统建模可以分为两种方式：实验建模和机理建模。
实验建模是通过在研究对象上加入各种由研究者事先确定的输入信号，激励研究对象，并通过传感器检测其可观测的输出，应用系统辩识的手法分析输入-输出关系，建立适当的数学模型逼近实际系统。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统的运动方程。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难，故而选用机理建模的方法。
为了在数学上推导和分析的方便，可作出如下假设：1) 摆杆在运动中是不变形的刚体；2) 齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； 3) 各种摩擦系数固定不变； 4) 忽略空气阻力；在忽略掉这些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
本文采用分析力学Lagrange 方程建立一、二级倒立摆的数学模型。
Lagrange 方程有如下特点：1) 它是以广义坐标表达任意完整系统的运动方程式，方程的数目和系统的自由度数是一致的。
2) 理想的约束反力不出现在方程组中，因此在建立系统的运动方程时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
3) Lagrange 方程是以能量的观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需从两个方面进行分析，一个是表征系统运动的动力学能量——系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量——广义力。
因此，用Lagrange 建模可以大大简化系统的建模过程。
二级倒立摆模型
二级倒立摆模型1 系统数学模型在忽略空气阻力及各种摩擦力之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统。
利用拉格朗日方程推导倒立摆运动学方程，如下：),(),(),(...q q V q q T q q L -=其中，L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。
拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为：i if q Lq L dt d =∂∂-∂∂.其中，i f n i ,,,2,1 =为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别为21,,θθx 。
由于在广义坐标21,θθ上均无外力作用，有以下等式成立：01.1=∂∂-∂∂θθLL dt d (1) 02.2=∂∂-∂∂θθLL dt d (2) 求解代数方程，表示成一下形式：),,,,,,(...2.1.211..1x x x f θθθθθ= (3)),,,,,,(...2.1.212..2x x x f θθθθθ= (4)取平衡位置时各变量初值为零)0,0,0,0,0,0,0(),,,,,,(...2.1.21=x x x θθθθ，将(3)(4)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，)..17213112..1x K K K ++=θθθ (5))..27223122..2x K K K ++=θθθ (6)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用了加速度作为输入，因此还需要加上一个方程..x u = (7)取状态变量如下:.26.15.423121,,,,,θθθθ======x x x x x x x x 由(5) (6)(7)式得到状态空间方程如下：u K K x x x x x x K K K K x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡271765432123221311.6.5.4.3.2.11000000000000000001000000100000010002 线性二次型最优控制器的设计我们要设计一个线性二次型最优控制器，使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，这里没有考虑小车位置。
模态分析与综合技术第二章 简单振动系统[精]
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第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
设系统的初始条件为：
x(0) x0 x(0) x0
则粘性阻尼系统的自由响应为：
x A ts eid tn )(
其中： A x02(x0d x0)2 arctandx0 x0x0
第2章 简单振动系统
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
只需要一个坐标就可以完全确定其几何 位置的系统称为单自由度系统。
工程中许多振动问题可以化简为单自由 系统来研究 。质量－弹簧系统是最简单也是 最典型的振动力学模型。
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
单自由度系统的建模方法可以利用： 1 牛顿第二定律
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
1 i 12 id 2 i 12 id
有阻尼系统自由振动的特性取决于上面的特 征方程的根的特性，对于欠阻尼情形，系统的两 个特征值为一对共轭复数，具有频率量纲，故称 为复频率。
它的实部是一个负数，表示了振幅衰减的 状态(衰减率)，虚部总是共轭成对地出现，表示 了系统振动的频率，因此特征根反映了全部振 动特性。
k
L/3
2L/3
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
解：广义坐标为, 则系统任意瞬时的动能为：
T
1 2
J c 2
1 m ( L ) 2 26
1 ( 1 mL 2 ) 2 1 m ( L ) 2
2 12
26
1 ( 1 mL 2 ) 2 29
meq
1mL2 9
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
因重力引起的势能与静变形引起的势能相 抵消，则系统任意瞬时的势能为：
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第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型§2.1概述拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。
§2.2拉格朗日方程1． 哈密尔顿原理 系统总动能),,,,,,,(321321N n q q q qq q q q T T = （2－1）系统总势能),,,,(321t q q q q U U N =（2－2）非保守力的虚功N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211（2－3）哈密尔顿原理的数学描述：0)(2121=+-⎰⎰t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4）2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式：),3,2,1()(N i Q q Uq T q T dt d iii i ==∂∂+∂∂-∂∂ （2－5）（推导：）将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有0)(221122112211221121=+++∂∂-∂∂-∂∂-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰dt q Q q Q q Q q q Tq q U q q U q qTq q T q q T q q T q q T q q T N N N NN N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6）利用分步积分dt q q Tdt d q qT dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ⎰⎰∂∂-∂∂=∂∂212121)(][ （2－7）并注意到端点不变分（端点变分为零）0)()(21==t q t q i i δδ （2－8）故dt q q T dt d dt q qTi i t t i t t i δδ)(2121∂∂-=∂∂⎰⎰（2－9）从而有0)])([211=+∂∂-∂∂+∂∂-⎰∑=dt q Q q Uq T q T dt d i i it t i i Ni δ （ （2－10）由变分学原理的基本引理：（设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有⎰=ft t T dt t M t 00)()(η则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ）我们可以得到：0)(=+∂∂-∂∂+∂∂-i ii i Q q U q T q T dt d （2－11）即i ii i Q q U q T q T dt d =∂∂+∂∂-∂∂)( （2－12）对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，则阻尼力与广义速度}{q成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ，}]{[}{21q C q D T≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：i i qDQ ∂∂-= （2－14） 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：0)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂qD q U q T q T dt d i i i （2－15） 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为i Q ），则系统的拉格朗日方程为：i i i i Q qD q U q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )( （2－16） §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。
1． 集中参数模型中应用【例】质量为M 的长直杆上有一个集中质量m可在杆上滑动。
杆绕固定点摆动，建立其自由振动方程。
势能θcos ]2[mgu LMgU +-=( 以O 点为势能零点) 动能)(21)31(2122222θθ u u m ML T ++= 选广义坐标为θ,u ，且0=u Q ，0=θQ 代入拉格朗日方程得到：⎪⎩⎪⎨⎧=++++=--0sin ]2[2)31(0cos 222θθθθθmgu L Mg u mu mu ML mg mu um 以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统降阶的途径。
2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用对一维连续系统，假设位移为：)()().(1t q x t x u i Ni i ∑==ψ（2－17）则系统具有N 个自由度，N 个广义坐标为),2,1()(N i t q i =，)(x i ψ不一定是系统的真实模态，可以是假设的一种变形模态。
只要)(x i ψ满足以下条件： （1） 是位移形函数，反映某种可能的位移形状 （2） 构成一组线性无关向量（3） 连续导数阶次满足势能中所要求的阶次 （4） 满足位移边界条件（不一定满足力边界条件） 2.1 杆的纵向振动轴向位移为),(t x u u =dx u A T l )(2120 ⎰=ρ (2－14) dx u EA U l20)(21⎰'= (2－15)将)()(),(t q x t x u i ii ∑=ψ代得到： }]{[}{2121q M q q q m T Tj i i j ij ==∑∑ (2－18) }]{[}{2121q K q q q k U T j i i jij ==∑∑(2－19)其中dx A m j li ij ψψρ⎰=0dx EA k j li ij ψψ''=⎰0(2－20)分布轴力p(x ，t) 在广义坐标上的虚功i l ii lii q p dx t q x t x p dx t x u t x p W δδψδδ⎰∑⎰∑===0))()()(,(),(),( （2－21）广义力⎰=li i dx x t x p t p 0)(),()(ψ （2－22）代入拉格朗日方程得：i j jijjjijp q k qm =+∑∑ ),2,1(N i =(2－23)或}{}]{[}]{[P q K qM =+ （2－24）（2008-3-26） 2.2 梁的横向振动横向位移函数)()(),(t q x t x u i ii ∑=ψ （2－22）动能j i ji ij L q q m dx u A T ∑∑⎰==21)(2120ρ （2－25） 势能j i ji ij L q q k dx u EI U ∑∑⎰=''=21)(2102 （2－26）dx A m L j i ij ⎰=0ψψρ，dx EI k Lj i ij ⎰''''=0ψψ （2－27） 分布外力做的功：)()())(),(())()()(,(),(),(0t q Q t q dx x t x p dxt q x t x p dx t x u t x p W i ii i i iLi ii LL δδψδψδδ∑∑⎰∑⎰⎰====（2－28）dx x t x p Q i Li )(),(0ψ⎰= （2－29）代入拉格朗日方程：),2,1(N i Q q k qm i j jijjjij==+∑∑ （2－30）或矩阵方程：}{}]{[}]{[Q q K qM =+ （2－31）注意假设模态法与有限元素法的区别：这里的)(x i ψ是对整个结构的假设模态（相当于整个结构变形的形函数），不是单元的位移形函数，对复杂结构，确定精度（品质）较高的假设模态是比较困难的。
3. 粘性阻尼系统中阻尼的处理 假设结构中具有分布粘性阻尼力),()(),(t x ux t x p ξ-= （2－32） 广义力∑⎰∑⎰∑⎰-=-=-==jLjj ij j i j i Ljj j i L i t q C dx x x x t qdxx t q x x dx x t x p Q 0)(])()()()[()()]()()([)(),( ψψξψψξψ （2－33）dx x C Lj i ij ⎰=0)(ψψξ （2－34）代入拉格朗日方程得到}{}]{[}]{[}]{[Q q K q C qM =++ （2－35） 上式中}{Q 为其他的广义非保守力§2.4 坐标约束与拉格朗日乘子通常对一个N 维结构系统，采用拉格朗日方程建立振动方程时，广义坐标N q q q ,,21是线性独立的，但是实际问题中，有时希望采用一套不是独立的坐标来建立方程，可能更加方便。
记系统不独立的坐标为)(,,21N M q q q M > 则被约束坐标数C=M-N（2－36）对广义坐标，有C 个约束方程：),2,1(0),,(21C j q q q f M j ==（2－37）如果令每一个坐标i q 取变分，则：02211=∂∂+∂∂+∂∂=M Mj j j j q q f q q f q q f f δδδδ（2－38）),2,1(0C j q qf ii ij==∂∂∑δ（2－39）上式说明这M 个i q δ不独立，而是由上述C 个方程联系起来。
在哈密尔顿原理式中，将坐标数由N 扩展到M ，即得到：0}])({[211=+∂∂-∂∂+∂∂-⎰∑=dt q Q q U q T q T dt d i i ii i t t Mi δ （2－40）注意，由于此时的i q δ不独立，不能直接由变分学基本原理，得出方括号内的项等于零的结论。
对上面的约束方程引入拉格朗日乘子（或称为拉格朗日乘子函数）),2,1()(C j t j =λ，得到：01111=∂∂=∂∂∑∑∑∑====Cj i ijM i j C j Mi i ijj q q f q qf δλδλ（2－41）代入哈密尔顿原理方程式中，0}])({[211=∂∂++∂∂-∂∂+∂∂-∑⎰∑=dt q q f Q q Uq T q T dt d i C ji j j i i i i t t Mi δλ （2－42）我们可以选择C 个j λ，使C 个i q δ相应的方括号表达式为零，那么其余N=M-C 个独立的i q δ对应的方括号内的项必为零。
从而得到带约束的拉格朗日方程（修正的拉格朗日方程）为：),2,1(0),,(),2,1()(211C j q q q f M i Q q f q U q T q T dt d M j iCj i j j i i i ====∂∂-∂∂+∂∂-∂∂∑=λ (2－43)联立上两个方程，就可确定M+C 个未知数),2,1;,2,1(,C j M i q j i ==λ 【应用实例】求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。