第5章空间力系与重心

第5章空间力系与重心

教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之

矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。

教学要求：本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。

(1) 空间汇交力系的概念

(2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算

(3) 空间力偶系

(4) 空间力系的简化

(5) 空间力系的平衡条件和平衡方程

(6) 物体的重心

5.1力在直角坐标轴上的投影

已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即

F x＝±ab

符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。

已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。过力的两端点A、B分别作平面Q的

'称为力F在平面Q上的投影。应注意的是力在垂直线AA′、BB′，则矢量B

A'

平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。

(a) (b)

图5.1

图5.2

现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。如图5.2(a)所示，过力F

的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：

⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαc o s c o s c o s F F F F F F z y x (5－1)

用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。

一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,

可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图5.2（b ）所示。设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则

⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγc o s s i n s i n c o s s i n F F F F F F z y x (5－2)

用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。 若已知力F 在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为

⎪⎭

⎪⎬⎫===++=F Z F Y F X Z Y X F γβαcos ,cos ,cos 222 （5－3） 如果把一个力沿空间直角坐标轴分解，则沿三个坐标轴分力的大小等于力在这三个坐标轴上投影的绝对值。

例5.1 如图5.3所示，已知力F 1＝2kN ，F 2＝1kN ，F 3＝3kN ，试分别计算三

力在x 、y 、z 轴上的投影。

图5.3

解：

kN

F F F F kN F F kN F F kN F x F F kN F F kN F F x y x z

y

z y x 30

707.022566.05422424.053220

6.1542.153333322222211111=====⨯==⨯⨯==⨯⨯

===⨯

=-=⨯

-= 5.2力对轴之矩

力对轴之矩是度量力使物体绕某轴转动效应的力学量。实践表明，力使物体

绕一个轴转动的效果，不仅与力的大小有关，而且和力与转轴之间的相对位置有关。如图5.4所示的一扇门可绕固定轴z 转动。我们将力F 分解为平行于z 轴的分力F z 和垂直于轴的分力F xy （即为力F 在平面Oxy 上的投影）。由经验可知，分力F z 不能使门绕z 轴转动，即力F z 对z 轴的矩为零；只有分力F xy 才能使门绕z 轴转动。现用符号m z (F )表示力F 对z 轴的矩，点O 为平面Oxy 与z 轴的交点，d 为O 点到力F xy 作用线的距离。因此，力F 对z 轴的矩与其分力F xy 对点O 的矩等效，即

m z (F )＝m o (F xy ) ＝±F xy d (5－4)

图5.4 图5.5

可得力对轴之矩的定义如下：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量

度，是一个代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与该轴的交点的矩，其正负号规定为：从轴的正向看，力使物体绕该轴逆时针转动时，取正号；反之取负号。也可按右手螺旋法则来确定其正负号，姆指指向与轴的正向一致时取正号，反之取负号，如图5.5所示。

注意，当力与轴共面时力对该轴的之矩为零。

力对轴之矩的单位是牛•米（N •m ）或千牛•米(kN •m)。

另外合力矩定理在空间力系中也同样适用。

例5.2 计算图5.6所示手摇曲柄上的力F 对z y x 、、轴之矩。已知100=F N ，︒=60α，AB=20cm ，BC=40cm ，CD=15cm ，A 、B 、C 、D 处于同一水平面上。

图5.6

解：力F 为平行于xAz 平面的平面力，在x 和z 轴上有投影

ααsin cos F F F F z x -==，

计算力F 对z y x 、、各轴的力矩

()()3031152060sin 100)(-=+︒-=+-=CD AB F F M z x N ²cm

34644060sin 100)(-=⨯︒-=-=BC F F M z y N ²cm

()()[]1750152050)(-=+-=+-=CD AB F F M x z N ²cm

5.3空间力系的平衡方程及应用

与建立平面力系的平衡条件的方法相同，通过力系的简化，可建立空间力系

的平衡方程。

⎭⎬⎫=∑=∑=∑=∑=∑=∑0)(,0)(,0)(0,0,0F m F m F m F F F z y x z y x

（5－5）

上式表明：空间力系平衡的必要和充分条件为各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。

（5－5）式有六个独立的平衡方程，要以求解六个未知数。

从空间任意力系的平衡方程，很容易导出空间汇交力系和空间平行力系的平

衡方程。如图6－7a 所示，设物体受一空间汇交力系的作用，若选择空间汇交力