[微积分Ⅱ]7-3 空间直角坐标系与矢量的坐标表达式

3
2
4
2
cos2 cos2 cos2 1, cos 1 . 2
, 3
2 . 3
设P2的坐标为( x, y, z),
cos
x1 P1 P2
x1
2
1 2
x 2,
cos
y0
y0
2 y
2,
P1 P2
22
cos z 3 z 3 1 z 4, z 2,
P1 P2
22
P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
四、利用坐标作向量的线性运算
向量aa的b加{a减x{法a, xa、y ,向bxa量,z}与a, y数的bby乘,法a{bz运x,算bbz的}y ,坐b标z }表, 达 式
a
来自百度文库
b
(ax bx )i {ax bx ,
(ay by ) j (az a y by , az bz }
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
设M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面, 形成一个六面体.
d M1M2 ?
zR
M1
P o
M2
Q N
在直角M1 NM2 及 直 角 M1PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM2 2 ,
az2
cos
az
.
ax2
a
2 y
az2
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0 | aa |
{cos, cos , cos }.
例
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与 a同向，一个反向
| a | 62 72 (6)2 11,
| | |
a a a
| | |
cos cos cos
向 量 的 方 向
x
余 弦
方向余弦通常用来表示向量的方向.
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2 az2 0 时，
cos cos
ax
,
ax2 ay2 az2
ay
,
ax2
a
2 y
d OM x2 y2 z2 .
例 求证以 M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
向量AB在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) , 投影为零；
2
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
A
过点 A作轴u的垂直
A
u
平面，交点 A即为点 A在轴u上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为A, B 那
么轴u上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
向量AB在轴u 上的投影记为Pr ju AB ( AB)u AB.
关于向量的投影定理（1）
(
1)，即
AM MB
=
，求分点的坐 标.
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM { x x1, y y1, z z1} A M
o
y
MB { x2 x, y2 y, z2 z} x
由题意知： AM MB
{ x x1, y y1, z z1} { x2 x, y2 y, z2 z},
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定
它们的夹角可在0与 之间任意取值.
非零向量 a 的方向角： 、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
M2
M1
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1
P
o
M2
Q
y
ax ay az
x
x1
( x2
x)
x
x1 x2 , 1
y
y1
( y2
y)
y
y1 y2 , 1
z z1 (z2 z)
z z1 z2 , 1
M 为有向线段AB的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .
2
2
2
向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在 x轴上的分向量为 13i ,
在 y轴上的分向量为7 j .
例 设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 )为两已知
点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两
部分 AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在
该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr
j(a1
a2 )
Pr
ja1
Pr
ja2 .
A
a1
B
a2
C
u
A
B
C
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
三、向量的坐标表示
(1)起点在原点的向量OM
z zC
设点 M (x, y, z)
以 i, j, k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量, 称为基本单 位向量.
k o
xi A x
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
a0
|
a a
|
6 11
i
7 11
j
6 11
k,
或 a0 a
6
i
7
j
6
k.
| a | 11 11 11
例 设有向量 P1P2，已知 P1P2 2，它与 x轴
和
y
轴的夹角分别为
3
和
4
，如果
P1的坐标为
(1,0,3)，求 P2的坐标.
解 设向量P1P2的方向角为 、 、
, cos 1 , , cos 2 ,
bz
)k;
a
(ax bx )i
{ax , ay ,
(ay
az }
by )
j
(az
bz )k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
例p 设5imj3i
4k5，j 求8向k，量na24im4
3j n7kp，在
x
轴及
在 y轴上的分向量.
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
微积分讲课提纲
微积分（II） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn
第七章 矢量代数与空间 解析几何
第三节 空间直角坐标系与 矢量的坐标表达式
一、空间直角坐标系
二、空间两点间的距离 三、矢量的坐标表达式 四、矢量的代数运算
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
j
M
B y
y
N
OM = OA + AN +NM
= OA + OB + OC = xi + yj + zk
x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标.
简记为 OM =(x, y, z)称为向量OM的坐标表示式.
(2)起点不在原点O的任一向量 a =M1M2
设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
设M是空间的一点, 过点M做平行于坐标面的三个平面, 该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,z就是点M的坐标.
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C , O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
二、空间两点间的距离
分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.
向量的模
设向量 r (ax ,ay ,az )
由两点间的距离公式知：向量模长的坐标表示 式为：
| a | ax2 ay2 az2
方向角与方向余弦
空间两向量的夹角的概念：
向量aa与0向 , 量bb的0,夹角
b
a
(a,b)
(b,
a)
(0 )
z
a = M1M2 = OM2 OM1
= (x2 i+ y2 j + z2 k)
o
(x1 i + y1 j + z1 k)
x
M1 a
M2 y
= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k 即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量a的坐标表示式 记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1