概率复习测试题(含答案)

1. 计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3

1=⨯+⨯+⨯==∑=i i i N M P N P M P ，

根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为

24.0025.001

.06.0)()|()()|(111=⨯==

M P N M P N P M N P ，

60.0025.005

.03.0)()|()()|(222=⨯==

M P N M P N P M N P ，

16.0025

.004

.01.0)()|()()|(333=⨯==

M P N M P N P M N P 。

2. 用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）

解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事

件B 。则要求的概率为)|(B A P ，根据Bayes 公式可得

)

|()()|()()

|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ，根据题意有4.0)(=A P ，而且8.0)|(=A C P ，9.0)|(=A C P ，所以

384.0)8.01(8.0)|(223=-⨯⨯=C A B P ；027.09.0)9.01()|(22

3=⨯-⨯=C A B P

故，

9046

.01698

.01536

.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯=+=

A B P A P A B P A P A B P A P B A P 3，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概

率密度为⎩⎨

⎧≤≤=他

其100

)(2

x kx x f ， （1）确定k ；（2）求}3

1{≤X P ；（3）

求}2

14

1{≤≤X P ；（4）求}3

2{>X P 。

解：（1）根据3

)(11

02k

dx kx dx x f =

==

⎰⎰+∞

∞-，得到3=k ； （2）271313}3

1{3

3

/10

2

=⎪⎭⎫

⎝⎛==

≤⎰dx x X P ； （3）647

41213}2141{3

3

2

/14/12=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==≤≤⎰dx x X P ； （4）2719

3213}32{3

1

3

/22=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-==>⎰dx x X P 。 4. 设产品的寿命X （以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

⎪⎩

⎪⎨⎧≥=-他

其0

0100

)(200

/2x e x x f x （1） 求寿命不到一周的概率；

概率论与数理统计及其应用习题解答

（2） 求寿命超过一年的概率；

（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

解：（1）00498.01100}1{200/11

200

/2≈-==<--⎰

e dx e x X P x ； （2）000001.0100}52{200

/270452

200/2≈==

>-+∞

-⎰e dx e x X P x ； （3）25158.0100100}

20{}

26{}2026{200/27620

200/26

200

/22≈==

>>=

>>-∞

+-+∞

-⎰⎰e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。

5. 设随机变量X 的概率密度为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤<<=他其422

008/8/1)(x x x x f

求分布函数)(x F ，并求}31{≤≤x P ，}3|1{≤≥X X P 。

解：（1）44220088188181

0)()(2042202

0≥<≤<≤<⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-x x x x dx x dx dx x dx dx dx x f x F x x

x

4422

00116/8/02

≥<≤<≤<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x x x 16/78/116/9)1()3(}31{=-=-=≤≤F F x P ；

9/7)

3()1()3(}3{}31{}3|1{=-=≤≤≤=

≤≥F F F X P X P X X P 。

6, 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

⎩

⎨

⎧>>=+-他其，，0

,00),()42(y x Ce y x f y x 试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。