对称式与轮换对称式修订稿
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对称式与轮换对称式 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
竞赛专题-------对称式与轮换对称式
1.基本概念
【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ,,,,如果交换任意两个字母的位置后,代数式不变,即对于任意的i j ,(1i j n ≤<≤),都有
11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =,,,,,,,,,,,,
那么,就称这个代数式为n 元对称式,简称对称式。
例如,222x y
x y xy x y z xy yz zx xy
++++++,,,,都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式,那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知,在对称式中,必包含任意交换两个字母所得的一切项,例如,在对称多项式()f x y z ,,中,若有3ax 项,则必有33ay az ,项;若有2bx y 项,则必有2bx z ,2222by z by x bz x bz y ,,,项,这些项叫做对称式的同形项,同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义,可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式,例如,含有三个字母x y z ,,的二次对称多项式的般形式是:
222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++
【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ,那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知,n 元多项式12()n f x x x ,,,是r 次齐次多项式,当且仅当对任意实数t 有
1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =,,,,,,。
例如,含三个字母的三元三次齐对称式为:
333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ,,,,如果交换任意两个字母的位置后,代数式均改变符号,即对于任意的i j ,()1i j n ≤<≤,都有
11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-,,,,,,,,,,,,
那么就称这个代数式为n 元交代式。
例如,()()()x y
x y x y y z z x x y
-----+,,均是交代式。
【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x ,,,,如果将字母12n
x x x ,,,以2x 代1x ,3x 代2n x x ,,代11n x x -,代n x 后代数式不变,即
12231()()n n f x x x f x x x x ≡,,,,,,,
那么称这个代数式为n 元轮换对称式,简称轮换式。
显然,对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式。例如,
222()a x y z ++是对称式也是轮换式;222()b x y y z z x ++是轮换式,但不是对称
式。
对称式、交代式、轮换式之间有如下性质:
(1)两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式;
(2)两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式; (3)同字母的对称式与交代式的积、商是交代式; (4)两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式; (5)多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。
【定义5】下面n 个对称多项式称为n 元基本对称多项式。
1121
()n
n i
i x x x x σ==∑,,,
2121()n
n i j i j n
x x x x x σ≤<≤=∑
,,,
… … …
1212121()k k n
k n i i i i i i n
x x x x x x σ≤<<
<≤=
∑
,,,
… … …
1212()
n n n x x x x x x σ=,,,
例如,二元基本对称多项式是指x y xy +,, 三元基本对称式是指x y z xy yz zx xyz ++++,,
当你学完了高等代数的时候就会知道,任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。
2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用
为了初中学生学习的需要,我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形,对于多元的情形,只需作类似的处理即可。
下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧
(1)若()f x y z ,,是对称式,则在解题中可设x y z ≤≤。(为什么?) (2)若()f x y z ,,是对称式,则当x y ,满足性质p 时,x z y z ,;,也满足性质p 。
(3)若()f x y z ,,是轮换式,则在解题中可设x 最大(小),但不能设
x y z ≤≤。(为什么?)
(4)若()f x y z ,,是轮换式,且x y ,满足性质p ,则y z z x ,;,也满足性质
p 。
(5)若()f x y z ,,是交代多项式,则x y y z z x ---,,是()f x y z ,,的因式,即其中()g x y z ,,是对称式。
()()()()()f x y z x y y z z x g x y z =---,,,, 其中()g x y z ,,是对称式。
在利用对称式作因式分解时,齐次对称多项式,齐次轮换对称多项式,齐次交代多项式是常用的。 齐次对称多项式的一般形式:
(1)二元齐次对称多项式