全微分形式不变性

z du z dv. u v
例1. u ln x2 y2 z2 ,求du, u , u 和 u x y z
解 du d ln x2 y2 z2 1 d ln( x2 y2 z2 ) 2
1 2
x2
1 y2
z2
d(x2
y2
z2 )
1 2
x2
1 y2
z2
(2 xdx
2 ydy
2zdz)
1 x2 y2 z2 ( xdx ydy zdz)
比较系数得到
u x
x2
x y2
z2
u y
x2
y y2
z2
u
z
z x2 y2 z2
抽象的复合函数的导数
例 2 设w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w x
f u f v u x v x
f1
yzf2;
2w xz
( z
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
f2 z
u v
有
dz
z u
du
z v
dv
.
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u,v 的函数或中间变量u,v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
Βιβλιοθήκη Baiduz u
u y
z v
v y
dy
z u dx u dy u x y
z v dx v dy v x y
全微分形式不变性
一、全微分形式不变性
一元函数的微分形式的不变性
无论 x 是自变量还是中间变量, 函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
一、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv;当u ( x, y)、v ( x, y)时，
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
三、小结
1、全微分形式不变性
（理解其实质）
2、抽象的复合函数求偏导