第6章 多元函数微分学5-8导学解答(6.2.1 复合函数的微分法6.2.2 全微分形式不变性)

6.2 多元函数微分法
6.2.1 复合函数的微分法 6.2.2 全微分形式不变性
一、相关问题
1.设(,,)u f x xy xyz =，其中f 具有一阶连续偏导数，显然u 是,x y ，z 的三元函数，如何求u 的一阶偏导数及二阶偏导数．
2.一元函数的一阶微分形式的变性是什么？
二、相关知识
1.如何确定复合函数的中间变量及自变量？
2.如何确定复合函数的高阶导数中的中间变量及自变量？
三、练习题
1.设22ln(1),2sin ,3z x y x t y t =++==，求
dy dt。

解 这里z 是函数，,x y 是中间变量，t 是自变量．复合关系图为则
222222
224c o s 62c o s 3111d y x y x t y
t d t x y x y x y
+=⋅+⋅=++++++． 2.设(,,)z f x u v =可微，(,,)u g x v y =，(,)v h x y =的偏导数存在，求dz ，z
x ∂∂，z y
∂∂。

解 由于函数有多重复合结构，用全微分形式的不变性较简便
123 dz f dx f du f dv =++ 又 12
3
d u g d x g d v
g d
y =+
+，12dv h dx h dy =+ 12123312121312212332222 ()() ()()dz f dx f g dx g dv g dy f h dx h dy f f g f h f g h dx f g f h f g h dy
∴=+++++=++++++
故
12131221z
f f
g f
h f g h x
∂=+++∂，2332222z f g f h f g h y ∂=++∂。

3.设20
(,)x y
t
z f t e dt =
⎰
，其中f 具有连续一阶偏导数，求dz 及
2z
x y
∂∂∂。

解 由于2
2
2222(,)(,)(2)x y x y dz f x y e dx y f x y e xydx x dy ==⋅+ 所以
22(,)2x y z
f x y e xy x
∂=∂ 故2222222312122(,)()222()x y x y x y z
xf x y e x f x e f xy xf x y f e f x y
∂''''=++⋅=++∂∂。

4.设2
2
()(,)z f ax by g x y xy =++，其中,f g 都有连续二阶偏导数，求2z
x y
∂∂∂。

解 函数g 的复合关系图如右下图所示。

21
22z
af g xy g y x
∂'''=+⋅+⋅∂ 22111
12222(2)2z
a b f x g x y g x g x y y g x y
∂''''''''=++⋅+⋅+∂∂ 2221
22(2)y g x g xy ''''+⋅+⋅ 32231
111222222522abf xg x yg x y g yg xy g ''''''''''=+++++。

5.设函数(,)z f x y =在点(1,1)处可微，且(1,1)1f =，
(1,1)
2f
x
∂=∂，
(1,1)
3f y
∂=∂，
()(,(,))g x f x f x x =．求
3
1
()x d g x dx
=。

解 由题设知(1)(1,(1,1))(1,1)1g f f f ===，
3
2
1
1
()3()()3(1)x x d g x g x g x g dx
==''==，
令(,)g f u v =，,(,)u x v f m n ==，,m x n x ==，则函数()g x 的复合关系图如下所示．
()(,)(,)((,)(,))u v m
n g x f u v f u v f m n f m n '''''=+⋅+， (1)(1,1)(1,1)((1,1)(1,1))23(23)17u v m
n g f f f f '''''=+⋅+=++=， 所以
3
1
()51x d g x dx
==。

四、思考题
1.设(,,)z f u v x =，()u x ϕ=，()v x ψ=，则
d z f d u f d v f d x u d x v d x x ∂∂∂
=⋅+⋅+
∂∂∂
，试问dz dx 与f x ∂∂是否相同？为什么？
答 不相同，等式左端的z 是作为一个自变量x 的函数，而右端最后一项f 是作为,,u v x 的三元函数。

2.若函数()y x f ,存在偏导数，但是不可微，那么复合函数的导数公式
()()()t y y t x x ==,，dt dy
y f dt dx x f dt df ∂∂+∂∂=是否还成立？
答 不一定，例如，函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.0,0,0,,2
22222
y x y x y x y
x y x f 当当在点()0,0不可微，而
()().00,00,0''==y x f f
设,,t y t x ==复合函数()().21,=
=t t f t F 有().2
10'=F 利用上述公式，
()()(),010,010,00'''=⋅+⋅=y x f f F 即上述公式不成立。

3.设二元函数(,)u u x y =有连续二阶偏导数，并满足方程2222
0u u
x y ∂∂-=∂∂，且
(,2),u x x x =2
(,2)
x u x x x '=，求(,2),(,2),(,2)xx xy yy u x x u x x u x x ''''''。

解 等式(,2)u x x x =两端对x 求导得
(,2)(,2)21x y u x x u x x ''+⨯= （1）
又因为 2
(,2)x
u x x x '= （2） 代入（1）式可得 21
(,2)(1)2
y u x x x '=- （3） （2）式两端对x 求导得
(,2)(,2)22xx xy u x x u x x x ''''+⨯= （*）
（3）式两端对x 求导得
(,2)2(,2)yx yy u x x u x x x ''''+=- （**）
又根据已知
22220u u
x y
∂∂-=∂∂ （***）
由（*），（**），（***）式可得
4
(,2)(,2)3
xx yy u x x u x x x ''''==-
；5(,2)3xy
u x x x ''=。