一链式法则二全微分形式不变性三小结

因此， 2w xz
f11 xyf12 yf2 yz( f21 xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
二、全微分形式不变性
设函数 z f (u,v)具有连续偏导数，则 u，v 不论是
自变量还是中间变量，总有全微分
dz
z u
du
z v
dv。
事实上，
函数的情况：
如果u (x, y)及v (x, y)都在点(x, y)具有对 x 和 y的偏导数，且 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续 偏导数，则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点 (x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：
z x
z u
u x
z u
du dt
z v
dv dt
z t
u z v t型
t
v et u sin t cost
et cost et sin t cost
et (cos t sin t) cos t.
例 2 设 z eu sin v，而 u xy，v x y，
求 z 和 z . x y
u z
z v
v x
,
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
z x
z u
u x
z v
v x
,
z
u v
x y
z y
z u
u y
z v
v y
.
z
u v
x y
类似地，设u (x, y)、v (x, y)、w w(x, y) 都在点(x, y)具有对 x和 y的偏导数，复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)的 两个偏导数存在，且可用下列公式计算：
f1 v
二阶偏 导连续
f21
2 f vu
f2 u
.
于是，
w x
f u
u x
f v
v x
f1 y z f2 ;
2w xz
z
(
f1
yzf 2 )
f1 z
yf2
yz
f2 z
;
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
f2 z
f2 u
u z
f2 v
v z
f21 xyf22;
z u
du dx
z v
dv dx
.
证略。
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
u
如z
v
x型
w
dz dx
z u
du dx
z v
dv dx
z w
dw dx
.
dz dx
z u
du dx
z v
dv dx
.
以上公式中的导数 dz 称为全导数. dt
2、z u v
x型 y
定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元
一、链式法则 二、全微分形式不变性 三、小结
一、链式法则
1、z
u v
x型
定理 如果函数u ( x)及v ( x)都在点 x 可导， 函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导 数，则复合函数 z f [ ( x), ( x)]在对应点 x 可导，且其导数可用下列公式计算：
dz dx
v y
dy
z u
du
z v
dv.
全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 u，v 的函数或中间变量 u，v
的函数，它的全微分形式是一样的.
例 6 设 z eu sin v，而 u xy，v x y， 求全微分 dz .
解
dz
z u
du
z v
dv
(eu sin v)d( xy) (eu cos v)d( x y)
例 3 设 f (u, x, y) e x2 y2u2 ，而u x2 sin y.
求
z x
,
z . y
解
z x
f u
u x
f x
2ue x2 y2u2 2 x sin y 2 xe x2 y2u2
2x(1 2x2 sin y)e x2 y2u2 .
z y
f u
u y
f y
.
2ue x2 y2u2 x2(cos y) 2 ye x2 y2u2
f x
,
z y
f u
u y
f y
.
把 z f [ ( x, y), x, y] 把 z f (u, x, y)中
区
别
中的 y看作不变而对 的u及 y看作不变
类
x的偏导数
而对 x的偏导数
似
例 1 设 z uv sin t ，而u et ，v cost ，
求全导数 dz . dt
解
dz dt
(2 y x4 sin 2 y)e x2 y2u2 .
例 4 设 z f ( x xy)，且 f 具有一阶导数。
求
z x
,
z . y
解 令 u x xy. 则 z f (u).
z
u
x y型
z x
df du
u x
f ( x xy) (1 y).
z y
df du
u y
x f ( x xy).
(eu sin v) ydx xdy (eu cos v)dx dy
eu( y sin v cos v)dx eu( x sin v cos v)dy
z
e xy[ y sin( x y) cos( x y)]dx
例 5 设 w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶连续偏
导数，求 w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
则 w f (u,v).
记
f1
f u
,
f2
f v
,
ux
w vy型 z源自f11 2 f u2
f1 u
,
f22
2 f v 2
f1 v
,
f12
2 f uv
（1）如果 u，v 是自变量，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量，u ( x, y), v ( x, y).
有全微分：
dz
z x
dx
z y
dy
dz
z x
dx
z y
dy
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z u
u x
dx
u y
dy
z v
v x
dx
v
解
z x
z u
u x
z v
v x
eu sin v y eu cos v 1
e xy[ y sin( x y) cos( x y)].
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1
e xy[ x sin( x y) cos( x y)].
x型 y
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
z
z y
z u
u y
z v
v y
z w
w y
u x
v wy
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [ ( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v x
1,
w x
0,
v y
0,
w y
1.
z x
f u
u x