一元线性回归方程PPT课件
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n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 n Q 2 ( yi a bxi )xi 0 b i 1
（4 ） （5 ）
由（4）得： yi a bxi 0 yi na b xi
i 1 n i 1 i 1 n n
由（1）可得到x和y之间的定量关系表示为： (2) y i a bxi i ˆ yi i
其中 i 随机误差，是一个均值 为 0方差为 2的随机变量。 即服从正态分布， i N ( 0 , 2 ); i — 1， 2， ，n
其中：(2) —一元线性回归方程； a 和b—回归系数 ；a—截距;b—斜率。
其表达式为：F
S余 S回 / m / （n m 1）
根据α以及分子(m)和分母(n-m-1)的自由度，查F分 布表得临界值Fc ； ①当F>Fc(α,m,n-m-1), 回归系数显著； ②当F≤FC(α,m,n-m-1)时，回归系数不显著。
⒌ 预测 ①当置信度为95.4% 时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-2Sy,ŷ0+2Sy] ②当置信度为99.7 %时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-3Sy, ŷ0+3Sy] 其中：
③当置信度为99.7 %时，预测值的近似置信区间为：
[ŷ0-3Sy, ŷ0+3Sy]
其中： Sy=
2 y a y b xy
n2
为标准差
七、Forecast process 1.确定预测目标(Object)和影响因素(Affect factor)
通常情况下，市场预测的目标必定是因变量，例如， 预测未来5年小家电需求量，它的因变量就是未来5年小家 电的需求量。 确定自变量，既要对历史资料和现在资料进行分析， 在诸多个影响因素中找出最有影响的因素(主要矛盾),作为 自变量。
六、预测区间估计
(一)有关概念： 点估计 (Point estimate) 给定值x0，ŷ=a+bx,就可以得到一个ŷ0。 区间估计(Range estimate) 指出有效区间，这个区间又称为置信区间。
对于观察数据量n ≤30的小样本而言，因变量y的 估计值ŷ0的置信区间为：[ŷ0-δ， ŷ0+ δ] （18）
yi xi b y bx a n n n x y x y x y nxy b i i i i i i 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i
并将有关计算a,b的数据填入表中
调查资料数据和回归计算数据表 年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 n=7 结婚人数 销售额 xi（百对） Yi（百万元） 47 40 43 55 66 72 70 ∑=393 40 35 37 44 55 58 56 ∑=325
一元线性回归方程预测法
回归分析预测就是通过对观察数 据的统计分析和处理来研究与确定事物间相
互关系和联系形式的一种方法。是确定变量
之间函数关系的一种有利的工具。
一、回归预测分类
一元线性回归
线性回归
回归预测 非线性回归
二元线性回归
多元线性回归
二、一元线性回归方程（Element Linear Regression ） 经济变量之间通常存在着因果关系。 例如,收入和消费;价格与需求量之间,都有一定的 关系。下面是1980年以来人平均收入和人平均消费支 出的 七组数据，见下表:
( yi ) n
2 2
n
2
2
S总 S yy ( yi y ) yi
( yi ) n
2 393 23123 1058 .86 72 2
7
11565
325 565.71 7
∴S回=S² XY/Sxx=770.57² /1058.86=560.77,m=1
Sy=
2 y a y b xy
为标准差
n2
一元线性方程举例
某地区1988-1994年结婚人数与某家电产品销 售额如表下所示，假定1995年该地区的结婚人数将 达74百对，试预测1995年该家电产品的销售额。
表 年份
结婚 人数 X（百对）
1988 47
1989 40
1990 43
x² i
2209 1600 1849 3025 4356 5184 4900
y² i
1600 1225 1369 1936 3025 3364 3136
xi yi
1880 1400 1591 2420 3630 4176 3920
∑=23123 ∑=15655 ∑=19017
由表中的数据计算a,b n x y x y 7 19017 393 325 b 0.73 7 23123 393 n x ( x ) y x 325 0.73 393 a b 5.44
年 份 人均收入（元）人均消费（元） 年 份 人均收入（元） 人均消费(元）
1980 1981 1982 1983
480 510 545 590
420 450 490 530
1984 1985 1986
640 780 760
580 620 680
在表中，x—人平均收入，y—人平均消费支出。
从表中可知，x和y呈现线性规律，设回归线性方程为： ŷi=a+bx (1)
( x0 x ) 2 1 其中： t ( / 2, n m 1) S y 1 n ( xi x ) 2
（19）
式中： t (n - m -1) 的t分布的临界值； （ / 2,nm1) — 在 / 2显著水平，
5.置信度与置信区间的关系 ①当置信度为68.3%时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-Sy, ŷ0+Sy] ②当置信度为95.4% 时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-2Sy,ŷ0+2Sy]
2.F检：是对全部回归系数进行一次性显著性检验 （方程显著性检验）
其表达式为：F
S余 S回 / m / （n m 1）
回归模型显著性检验步骤为： (1) 根据α以及分子(m)和分母(n-m-1)的自由度，查 F分布表得临界值Fc ； (2)作出判断 ①当F>Fc(α,m,n-m-1), 则回归模型具有显著水平，x和y之间的变化是符 合回归模型； ②当F≤FC(α,m,n-m-1)时， 则回归模型没有显著水平，x和y之间的变化不符 合回归模型的变化，预测模型无效。
（8）
五、可靠性检验
为了避免误差过大，确定a和b之后，在允许误差 的情况，进行可靠性检验。 1.R检验 检验x 与y之间的线性相关的程度。 n xy- x y 其数学表达式为： R （1）当：0≤ |r| ≤ 1 若r与b取同号,则有： b>0，r>0,表明x和y同方向变化,称为正相关； 若r与b取同号,则有： b<0，r<0，表明x和y反方向变化,称为负相关。
n
n
n
（6）
2（7） 由（5）得： x y ax x bx 0 x y a x b x ii i i i ii i i i 1 i 1 i 1
由（6）、（7）解得a,b分别为：
yi xi b y bx a n n n x y x y x y nx y b i i i i i i 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i xi 其中：x —自变量的平均值； n yi y — 因变量的平均值。 n
(2) r 检验
S回 r 1 0.9956 S总 rc (0.05, n m 1 5) 0.7545 r 0.9956
三、回归参数估计 由一组观察值 画出散点图,如右图所 示,这样的直线可画出很多条,而回归直 ˆi y (x , y ) 线只有一条，因为只有回归直线最接近 ( xi , yi ) 实际观察值。要拟合一条最理想的回归 ( x , y ) ( x, y ) 直线，就要确定a和b。确定a和b的 回归直线 方法有多种，其中应用最多的是最小二 t 乘法。 图 回归直线的散点图 四、最小二乘法
S余=Syy-S² XY/Sxx=565.71-770.57²’1058.86=4.94 n-m-1=7-1-1=5,
S总=Syy=565.71, n-m-1=7-1=6,
4.模型检验
(1)F检验
560.7 m 则：F 567.58 S余 / n m 1 4.94 / 5 S回
当α=0.05,Fc(α,m,n-m-1)=Fc(0.05,1,5)=6.61 ∵F=567.58＞Fc=6.61 ∴回归模型具有显著性水平.
1991 55
1992 66
1993 72
1994 70
销售额y (百万元)
40
35
37
44
55
58
56
解：1.画散点图, 如右图 由图可知：结婚人数与 家电产 品的销售量呈线性关系，故可用一 元线性回归模型进行预测。
结婚人数
• • •
•
• •
图
家电产品的销售量
2.确定一元回归预测模型参数a,b。 其中：
市场预测与决策
陈晓慧
(7)
M(1)t= M(1)t –1+xt-xt-n/n
2009.2.
chap7 回归分析预测法
一元线性回归预测法 多元线性回归预测法 非线性回归预测法 虚拟变量回归预测法
本章学习要点：
本章重点是要掌握回归分析预
测的原理与方法、步骤，特别是
能从实际出发解决一元线性回归 的预测问题。
2.建立回归预测模型(Regression forecast model)
根据收集的资料,画散点图,并依据变量之间的相关 关系，用恰当的数学表达式表示出来。
3.r test
R
n x 2 ( x) 2 n y 2 ( y) 2
n xy- x y
根据 n-m-1(自由度)和α(显著性水平)在相关系 数临界值表上可查出rc。 （4）作出判断 当|r|≧rc，预测模型有效； 当|r|<rc, 预测模型无效 4.F test
n x 2 ( x) 2 n y 2 ( y) 2
(3)从相关系数临界表中查出rc
根据 n-m-1(自由度)和α(显著性水平)在相关系数 临界值表上可查出rc。 （4）作出判断 当|r|≧rc，则x和y之间线性相关性显著，检验合格， 预测模型有效； 当|r|<rc, 则x和y之间线性相关性不显著，检验不合格， 预测模型无效； 此时要分析原因，对回归模型重新处 理，至到检验合格。
第六章
回归分析预测法
回归分析起源于生物学的研究。 英国的著名生物学家达尔文在19世纪末，发现父 亲的身高与儿子的身高之间有密切的关系。一般来说， 父亲身材高大的，其子也比较高大，父亲矮小的，其 子也比较矮小。但是，在大量的研究资料中，又发现 身高有一种向平均身高回归的倾向，即身高很高大的 父亲，其子比父亲略矮；反之，很矮的父亲，其子比 父亲略高。这种身高倾向平均数的现象称为回归 (Regression)。 经济领域中的许多问题，也可用回归分析来预测， 并且取得了很好的效果。
n n
1
1
2
2
设任意一个回归值ŷi实际观察yi 之间存在的误差 n 为ei,令 Q ei 2 min 有:
ˆ i ) ( yi a bxi ) min Q ei ( yi y
2 i 1 i 1 i 1 n
i 1
n
n
2
（ 3）
即对（3）求极值，有：
i i i i 2 2 2 i i i i
n
n
7
Βιβλιοθήκη Baidu
则所求的一元线性回归预测方程为： ŷ=a+bx=5.44+0.73x b=0.73的经济含义是该地区结婚人数每增加1百对，该 家电销售额将0.73百万元。 3.方差分析
S xy xi yi
S xx xi
xi yi 393 325 19017 770.57
（4 ） （5 ）
由（4）得： yi a bxi 0 yi na b xi
i 1 n i 1 i 1 n n
由（1）可得到x和y之间的定量关系表示为： (2) y i a bxi i ˆ yi i
其中 i 随机误差，是一个均值 为 0方差为 2的随机变量。 即服从正态分布， i N ( 0 , 2 ); i — 1， 2， ，n
其中：(2) —一元线性回归方程； a 和b—回归系数 ；a—截距;b—斜率。
其表达式为：F
S余 S回 / m / （n m 1）
根据α以及分子(m)和分母(n-m-1)的自由度，查F分 布表得临界值Fc ； ①当F>Fc(α,m,n-m-1), 回归系数显著； ②当F≤FC(α,m,n-m-1)时，回归系数不显著。
⒌ 预测 ①当置信度为95.4% 时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-2Sy,ŷ0+2Sy] ②当置信度为99.7 %时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-3Sy, ŷ0+3Sy] 其中：
③当置信度为99.7 %时，预测值的近似置信区间为：
[ŷ0-3Sy, ŷ0+3Sy]
其中： Sy=
2 y a y b xy
n2
为标准差
七、Forecast process 1.确定预测目标(Object)和影响因素(Affect factor)
通常情况下，市场预测的目标必定是因变量，例如， 预测未来5年小家电需求量，它的因变量就是未来5年小家 电的需求量。 确定自变量，既要对历史资料和现在资料进行分析， 在诸多个影响因素中找出最有影响的因素(主要矛盾),作为 自变量。
六、预测区间估计
(一)有关概念： 点估计 (Point estimate) 给定值x0，ŷ=a+bx,就可以得到一个ŷ0。 区间估计(Range estimate) 指出有效区间，这个区间又称为置信区间。
对于观察数据量n ≤30的小样本而言，因变量y的 估计值ŷ0的置信区间为：[ŷ0-δ， ŷ0+ δ] （18）
yi xi b y bx a n n n x y x y x y nxy b i i i i i i 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i
并将有关计算a,b的数据填入表中
调查资料数据和回归计算数据表 年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 n=7 结婚人数 销售额 xi（百对） Yi（百万元） 47 40 43 55 66 72 70 ∑=393 40 35 37 44 55 58 56 ∑=325
一元线性回归方程预测法
回归分析预测就是通过对观察数 据的统计分析和处理来研究与确定事物间相
互关系和联系形式的一种方法。是确定变量
之间函数关系的一种有利的工具。
一、回归预测分类
一元线性回归
线性回归
回归预测 非线性回归
二元线性回归
多元线性回归
二、一元线性回归方程（Element Linear Regression ） 经济变量之间通常存在着因果关系。 例如,收入和消费;价格与需求量之间,都有一定的 关系。下面是1980年以来人平均收入和人平均消费支 出的 七组数据，见下表:
( yi ) n
2 2
n
2
2
S总 S yy ( yi y ) yi
( yi ) n
2 393 23123 1058 .86 72 2
7
11565
325 565.71 7
∴S回=S² XY/Sxx=770.57² /1058.86=560.77,m=1
Sy=
2 y a y b xy
为标准差
n2
一元线性方程举例
某地区1988-1994年结婚人数与某家电产品销 售额如表下所示，假定1995年该地区的结婚人数将 达74百对，试预测1995年该家电产品的销售额。
表 年份
结婚 人数 X（百对）
1988 47
1989 40
1990 43
x² i
2209 1600 1849 3025 4356 5184 4900
y² i
1600 1225 1369 1936 3025 3364 3136
xi yi
1880 1400 1591 2420 3630 4176 3920
∑=23123 ∑=15655 ∑=19017
由表中的数据计算a,b n x y x y 7 19017 393 325 b 0.73 7 23123 393 n x ( x ) y x 325 0.73 393 a b 5.44
年 份 人均收入（元）人均消费（元） 年 份 人均收入（元） 人均消费(元）
1980 1981 1982 1983
480 510 545 590
420 450 490 530
1984 1985 1986
640 780 760
580 620 680
在表中，x—人平均收入，y—人平均消费支出。
从表中可知，x和y呈现线性规律，设回归线性方程为： ŷi=a+bx (1)
( x0 x ) 2 1 其中： t ( / 2, n m 1) S y 1 n ( xi x ) 2
（19）
式中： t (n - m -1) 的t分布的临界值； （ / 2,nm1) — 在 / 2显著水平，
5.置信度与置信区间的关系 ①当置信度为68.3%时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-Sy, ŷ0+Sy] ②当置信度为95.4% 时，预测值的近似置信区间为： [ŷ0-2Sy,ŷ0+2Sy]
2.F检：是对全部回归系数进行一次性显著性检验 （方程显著性检验）
其表达式为：F
S余 S回 / m / （n m 1）
回归模型显著性检验步骤为： (1) 根据α以及分子(m)和分母(n-m-1)的自由度，查 F分布表得临界值Fc ； (2)作出判断 ①当F>Fc(α,m,n-m-1), 则回归模型具有显著水平，x和y之间的变化是符 合回归模型； ②当F≤FC(α,m,n-m-1)时， 则回归模型没有显著水平，x和y之间的变化不符 合回归模型的变化，预测模型无效。
（8）
五、可靠性检验
为了避免误差过大，确定a和b之后，在允许误差 的情况，进行可靠性检验。 1.R检验 检验x 与y之间的线性相关的程度。 n xy- x y 其数学表达式为： R （1）当：0≤ |r| ≤ 1 若r与b取同号,则有： b>0，r>0,表明x和y同方向变化,称为正相关； 若r与b取同号,则有： b<0，r<0，表明x和y反方向变化,称为负相关。
n
n
n
（6）
2（7） 由（5）得： x y ax x bx 0 x y a x b x ii i i i ii i i i 1 i 1 i 1
由（6）、（7）解得a,b分别为：
yi xi b y bx a n n n x y x y x y nx y b i i i i i i 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i xi 其中：x —自变量的平均值； n yi y — 因变量的平均值。 n
(2) r 检验
S回 r 1 0.9956 S总 rc (0.05, n m 1 5) 0.7545 r 0.9956
三、回归参数估计 由一组观察值 画出散点图,如右图所 示,这样的直线可画出很多条,而回归直 ˆi y (x , y ) 线只有一条，因为只有回归直线最接近 ( xi , yi ) 实际观察值。要拟合一条最理想的回归 ( x , y ) ( x, y ) 直线，就要确定a和b。确定a和b的 回归直线 方法有多种，其中应用最多的是最小二 t 乘法。 图 回归直线的散点图 四、最小二乘法
S余=Syy-S² XY/Sxx=565.71-770.57²’1058.86=4.94 n-m-1=7-1-1=5,
S总=Syy=565.71, n-m-1=7-1=6,
4.模型检验
(1)F检验
560.7 m 则：F 567.58 S余 / n m 1 4.94 / 5 S回
当α=0.05,Fc(α,m,n-m-1)=Fc(0.05,1,5)=6.61 ∵F=567.58＞Fc=6.61 ∴回归模型具有显著性水平.
1991 55
1992 66
1993 72
1994 70
销售额y (百万元)
40
35
37
44
55
58
56
解：1.画散点图, 如右图 由图可知：结婚人数与 家电产 品的销售量呈线性关系，故可用一 元线性回归模型进行预测。
结婚人数
• • •
•
• •
图
家电产品的销售量
2.确定一元回归预测模型参数a,b。 其中：
市场预测与决策
陈晓慧
(7)
M(1)t= M(1)t –1+xt-xt-n/n
2009.2.
chap7 回归分析预测法
一元线性回归预测法 多元线性回归预测法 非线性回归预测法 虚拟变量回归预测法
本章学习要点：
本章重点是要掌握回归分析预
测的原理与方法、步骤，特别是
能从实际出发解决一元线性回归 的预测问题。
2.建立回归预测模型(Regression forecast model)
根据收集的资料,画散点图,并依据变量之间的相关 关系，用恰当的数学表达式表示出来。
3.r test
R
n x 2 ( x) 2 n y 2 ( y) 2
n xy- x y
根据 n-m-1(自由度)和α(显著性水平)在相关系 数临界值表上可查出rc。 （4）作出判断 当|r|≧rc，预测模型有效； 当|r|<rc, 预测模型无效 4.F test
n x 2 ( x) 2 n y 2 ( y) 2
(3)从相关系数临界表中查出rc
根据 n-m-1(自由度)和α(显著性水平)在相关系数 临界值表上可查出rc。 （4）作出判断 当|r|≧rc，则x和y之间线性相关性显著，检验合格， 预测模型有效； 当|r|<rc, 则x和y之间线性相关性不显著，检验不合格， 预测模型无效； 此时要分析原因，对回归模型重新处 理，至到检验合格。
第六章
回归分析预测法
回归分析起源于生物学的研究。 英国的著名生物学家达尔文在19世纪末，发现父 亲的身高与儿子的身高之间有密切的关系。一般来说， 父亲身材高大的，其子也比较高大，父亲矮小的，其 子也比较矮小。但是，在大量的研究资料中，又发现 身高有一种向平均身高回归的倾向，即身高很高大的 父亲，其子比父亲略矮；反之，很矮的父亲，其子比 父亲略高。这种身高倾向平均数的现象称为回归 (Regression)。 经济领域中的许多问题，也可用回归分析来预测， 并且取得了很好的效果。
n n
1
1
2
2
设任意一个回归值ŷi实际观察yi 之间存在的误差 n 为ei,令 Q ei 2 min 有:
ˆ i ) ( yi a bxi ) min Q ei ( yi y
2 i 1 i 1 i 1 n
i 1
n
n
2
（ 3）
即对（3）求极值，有：
i i i i 2 2 2 i i i i
n
n
7
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则所求的一元线性回归预测方程为： ŷ=a+bx=5.44+0.73x b=0.73的经济含义是该地区结婚人数每增加1百对，该 家电销售额将0.73百万元。 3.方差分析
S xy xi yi
S xx xi
xi yi 393 325 19017 770.57