偏导数在几何上应用

解 1 直 接 利 用 公 式 ;
解 2 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x 求 导 并 移 项 ， 得
y
dy dx
z dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
首页
上页
返回
下页
结束
dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
xetcots, y2co ts sit,n z3e3t,
x(0)1, y(0)2, z(0)3,
切线方程 x0y1z2,
1 23
法平面方程 x 2 ( y 1 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
即 x 2 y 3 z 8 0 .
首页
上页
返回
下页
结束
特殊地：
xx
1.空间曲线方程为
y z
由 r(t)所确定的C 空 为光间 滑曲曲 线. 线
首页
上页
返回
下页
结束
2、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
空间曲线的一般方程
相应光滑性要求其Jacobi 矩阵是满秩的.
z
S1
S2
C
o
y
Jaco矩bi阵 Fx：Fy
Fz x
Gx Gy Gz
implicit
首页
上页
返回
下页
结束
另一方面,注意到
gra(pd 0) F {F x(p0)F ,y(p0)F ,z(p0)},
gra(pd 0) G {G x(p0)G ,y(p0)G ,z(p0)}
g( r p 0 ) a gd ( r p 0 ) a F 0 ( d rG a J 2 ) n
f (x) ,
g(x)
在 M (x0,y0,z0)处 ,
切线方程为
xx0yy0 zz0 , 1 f(x0) g(x0)
法平面方程为
( x x 0 ) f ( x 0 ) y ( y 0 ) g ( x 0 ) z ( z 0 ) 0 .
首页
上页
返回
下页
结束
2.空间曲线方程为 GF((xx,,yy,,zz))00,
解 3 利用梯度. 记 F x 2 y 2 z 2 6 ,G x y z ,则
gr ( 1 , 2 a , 1 ) d { 2 , 4 , F 2 }g , r ( 1 , 2 a , 1 ) d { 1 , 1 , 1 } G .
dx(1,2, 1)
由此得切向量 {1,0,1},
所求切线方程为 x1y2z1, 1 0 1
法平面方程为 ( x 1 ) 0 ( y 2 ) ( z 1 ) 0 ,
xz0
首页
上页
返回
下页
结束
例 2 求 曲 线 x 2 y 2 z2 6 ， x y z 0 在 点 (1 , 2 ,1 )处 的 切 线 及 法 平 面 方 程 .
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x ( t 0 ) x ( x 0 ) y ( t 0 ) y ( y 0 ) z ( t 0 ) z ( z 0 ) 0
首页
上页
返回
下页
结束
例1
求曲线:x
t
0
eu
cosudu，y
2sint
cost,z 1e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时，x 0 ,y 1 ,z 2 ,
x x(t )
设空间曲线的方程 y y(t ), at b, 光滑
z z(t )
设 M (x 0,y 0,z0)对 , t应 t0 ; 于 z •M
M (x0x,y0y,z0z)
•M
对应 tt0 于 t.
xo y
首页
上页
返回
下页
结束
割线 MM 的方程为
z
•M
xx0yy0zz0
•M
x y z x o
首页
上页
返回
下页
结束
xx1 yy1 zz1 .直线的两点式方程 x2x1 y2y1 z2z1
xx0yy0zz0 直线的对称式方程
mn p
点向式方程
标准方程
A A1 2x x B B12yy C C12zz D D 1200 空间直线的一般方程
首页
上页
返回
下页
结束
平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B (y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
偏导数在几何中的应用
回顾及定义
空间曲线的表示与光滑曲线
1.参数方程:
x x(t), C:y y(t),
at b
其向量形式: r ( t ) x z( t ) zi ( t),y ( t ) j z ( t ) k ,a t b .
定义r ： (t) 若 x(t)iy(t) jz(t)k在 [a,b]上连续 t且 [a,b]对 有 r(t)0,则称
其中法矢量 n {A ,B ,C }已,知点 (x0, y0,z0).
平面的一般方程 A B x C y D z 0
平面的截距式方程 平面的三点式方程
x yz 1 a bc
xx1 x2 x1 x3 x1
yy1 y2 y1 y3 y1
zz1 z2 z1 0 z3 z1
首页
上页
返回
下页
结束
一、空间曲线的切线与法平面
Fx
Fy
Fz 满秩
Gx Gy Gz
切
向 G 量 F y y F G zz0,G F zz
F x ,F 百度文库 G x0 G x
F y G y0
xx0 yy0 zz0 ,
切线方程为 Fy Fz Fz Fx Fx Fy
Gy Gz0 Gz Gx0 Gx Gy0
法平面方程为
G F y y G F z z0 (x x 0 ) G F z z G F x x0 (y y 0 ) G F x x G F y y0 (z z 0 ) 0 .
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
xx0yy0zz0, x y z
t
t
t
首页
上页
返回
下页
结束
当 M M ,即 t 0 时 ,曲线在M处的切线方程
xx0 yy0 zz0. x(t0) y(t0) z(t0)
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
r ( t 0 ) x ( t 0 )y ( , t 0 )z ( , t 0 )
gr(p a 0 ),d g F r(p a 0 ) dG
定理
曲线
F(x, G(x,
y, z) y, z)
0 0
在
p 0点的法平面就是
由梯度向量grad F( p 0) 和grad G( p 0) 张成的过 p 0的平面.
首页
上页
返回
下页
结束
例 2 求 曲 线 x 2 y 2 z2 6 ， x y z 0 在 点 (1 , 2 ,1 )处 的 切 线 及 法 平 面 方 程 .