(完整版)平行四边形的性质和判定(最新整理)

平行四边形的性质和判定

知识点1 平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。

知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。

对角线：对角线互相平分。

知识点3 平行四边形的判定：

边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。、

知识点4 两条平行线的距离。

知识点5 三角形的中位线

定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例1、如图，是平行四边形的对角线上的点，．猜想：与有怎样的位置关E F ，ABCD AC CE AF BE DF 系和数量关系？并对你的猜想加以证明。

A

B

C

D

E

F

【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB 的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。求证：EH=FG 。

例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。求证：

四边形AECF 是平行四边形。

例3、▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC 于点F （1）求证：CE=CF ；

（2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG

．

【变式练习】1、如图,在

ABCD 中，AE =

CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形．

C

A B

F C

M

N

E

2、在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．

①求证：BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形

状．

例4、如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。

【变式练习】

1．在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）

A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜

8cm

F

2、如图：点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH

是什么图形？并说明理由。

4如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD

的面积为．

B F

例5、如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2。

（1）求证：AD=AE；

（2）如图，点P在线段BE上，作EF⊥DP与点F，连接AF。求证：DF－EF=AF；

（3）当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合时），作EF⊥直线DP，垂足为点F，连接AF。线段DF、EF与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论。

误区一：不能正确地理解平行四边形的判定方法

误区二：不注意分类

误区三：错误地运用条件

概念规律关键

平行四边形的定义两组对边分别平行

平行四边形的性质合理运用到题中，选取正确快捷的方法

平行四边形的判定结合图形与条件，选择正确的判定方法

三角形的中位线注意构造和应用

1、已知四边形ABCD中，AB∥DC，则可以添加条件____________________，使四边形ABCD是平行四边形。(图形中不再添加辅助线)

2、□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，，则的周长为_______，的面8,12,20AB AC BD ===AOB ∆AOB ∆积为_______。

3、如图所示，在▱ABCD 中，AB=5，AD=8，DE 平分∠ADC ，则BE=

4、从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线，如果这两条高线的夹角是135°，这个平行四边形的锐角的度数是 ．

5、如图，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点，当四边形ABCD 满足条件 时，△PBA 的面积始终保持不变。（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

6、如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，

AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．7、能判别一个四边形是平行四边形的条件是（ ）

A ．一组对边相等，另一组对边平行

B ．一组对边平行，一组对角互补

C ．一组对角相等，一组邻角互补

D ．一组对角互补，另一组对角相等8、如图，平行四边形ABCD 中，A

E 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DEA 等于（ ）

A ．100°

B ．80°

C ．60°

D ．40°

9、顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）

A ．平行四边形

B ．矩形

C ．菱形

D ．正方形

10、如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（

）

A.8.3

B.9.6

C.12.6

D.13.6