平面几何图形的性质在立体几何中的应用

平面几何图形的性质在立体几何中的应用

[学生用书P140]

三角形中位线定理的应用

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点．设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l，求证：MN∥l.

【证明】法一：(线面平行的判定和性质方法)连接BC1，在△A1BC1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点，

所以MN∥C1B，

又MN⊄平面BCC1B1，C1B⊂平面BCC1B1，

所以MN∥平面BCC1B1，

又因为MN⊂平面MNB1，

平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，

所以MN∥l.

法二：(面面平行的判定和性质方法)取A1B1的中点P，连接MP，NP.

在△A1B1C1中，点M，P分别为A1C1，A1B1的中点，

所以MP∥C1B1，

又因为MP⊄平面BCC1B1，C1B1⊂平面BCC1B1，

所以MP∥平面BCC1B1，

同理可证NP∥平面BCC1B1，

又因为MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，

NP⊂平面MNP，

所以平面MNP∥平面BCC1B1，

又因为MN⊂平面MNP

所以MN∥平面BCC1B1.

又因为MN⊂平面MNB1，

平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，

所以MN∥l.

三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理，通过找中点，连接中点得出三角形的中位线，达到证明线线平行的目的，进一步实现证明线面平行、面面平行的目的．

平行四边形的判定及性质的应用

如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.

【证明】如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.

在三棱台DEF-ABC中，

AB＝2DE，点G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形，

所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，

所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等，判定该四边形为平行四边形，则该四边形的另一组对边平行，也经常运用平行四边形的对角线互相平分，判定线段的中点．

等腰三角形、正三角形性质的应用

(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.

(1)证明：AC ⊥BD ；

(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．

【解】

(1)证明：取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .

又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . (2)连接EO .

由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以 BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝1

2AC .

又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝1

2

BD .

故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1

2，四面体ABCE

的体积为四面体ABCD 的体积的1

2

，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.

等腰三角形底边上的中线垂直底边，在立体几何中常用该结论得出线线垂直．

菱形性质的应用

如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥

平面BB 1C 1C .

(1)证明：B 1C ⊥AB ；

(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．

【解】 (1)

证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，

所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .

(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，

所以OH ⊥BC .

又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形． 又BC ＝1，可得OD ＝34

. 由于AC ⊥AB 1， 所以OA ＝12B 1C ＝12

.

由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝7

4

，得 OH ＝

2114

. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为21

7

，故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高

为

217

.

矩形、正方形性质的应用

如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面P AD ⊥底面

ABCD ，且P A ＝PD ＝

2

2

AD ，E ，F 分别为PC ，BD 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ；