可口可乐易拉罐
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2 2
(2 rb b )(h (1 )b)
2
2 rhb 2 r (1 )b h b (1 )b
2 2
3
• 饮料罐顶盖所用材料的体积为 • 饮料罐底部所用材料的体积为 • 所以, SV 和 V 分别为,
2 2 2
b r
b r
2
2
SV (r , h) 2 rhb r (1 )b 2 r (1 )b h b (1 )b V ( r , h) r h
2 3
• 因为b<<r , 所以带 b , b 的项可以忽略 • 因此: SV (r, h) S (r, h) 2 rhb r 2 (1 )b
探讨
• 更有意思的是, 计算饮料罐的胖的部分的直 径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黄 金分割比 0.618. 这是巧合吗? 还是这样的比 例看起来最舒服, 最美?
模型的求解：
• 一种解法(从约束中解出一个变量，化条件 极值问题为求一元函数的无条件极值问题) 2 2 g ( r , h ) r h V 0 h V / r • 从 解 ,代 入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求r使 2V 2
S (r , h(r )) b[ r (1 ) r ]
记
2
3
g (r, h) r h V
2
建立以下的数学模型：
r 0, h 0
min S (r , h)
s.t. g (r , h) 0
• 其中 S 是目标函数， • g (r , h) 0 是约束条件, V 是已知的(即罐内体积 一定), 即要在体积一定 的条件下, 求罐的体积 最小的 r, h 和 使得 r, h 和测量结果吻合. 这 是一个求条件极值的 问题.
• 设饮料罐的半径为 r （因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内 体积为 V. b 为除顶盖 外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材 料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数, 是待定参数.
饮料罐侧面所用材料的体积为
( (r b) r )(h (1 )b)
最小.
• 求临界点: 令其导数为零得
dS V 2b 2b[(1 ) r 2 ] 2 ((1 ) r 3 V ) 0. dr r r
• 解得临界点为
V
3
V r3 (1 )
• 因此
2(1 ) 2 V h ( ) 2(1 )( 3 ) V (1 ) (1 )d (1 )r . 2
验证
• 通过测量重量或容积来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克. • 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮 料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘 米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留 有 10 立方厘米的空间余量.
V r 4
3
一种可能的考虑.
• 粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部 分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘 米, 高为 10.2 厘米的圆柱体. 它们的体积分 别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米.
• 测量数据为 h/d=2, 即 4 1 , =3 , 即顶 盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍. • 为验证这个 r 确实使 S 达到极小。计算 S 的 二阶导数
2V S 4b[2 (1 ) 3 ] 0, r r 0.
• 所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为 临界点只有一个, 因此也是全局极小.
V 2 V V 3 3 0 S (r ) 2 (2r 2 ) 2 (2r ), r , r r 2 V V h 2 r
3
V r 2 h, h V / r 2 .
4 4 V 8V 3 3 2r d 2 2 2 V V 2
验证和进一步的分析：
• 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚 度的 3 倍. • 如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为
V பைடு நூலகம் 6 12 339.3 355
2
即装不下那么多饮料，为什么？模型到底对 不对?
• 按照 , V = 365立方厘米, 可以算得 • r = 3.074 厘米.
2 2 3
• 它顶盖的直径和从顶 盖到底部的高: 约为6 厘米和12厘米. • 中间胖的部分的直径 约为6.6厘米，胖的部 分高约为10.2厘米. • 可口可乐饮料罐上标 明净含量为 355 毫升 (即 355 立方厘米).
简化模型——分析和假设：
• 首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一 定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求 能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的 直径和从顶盖到底部的高之比.
• 实际上，饮料罐的形状是绕其中轴线旋转 而成的立体图形。
• 用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比 其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除 易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作 b , 顶 盖的厚度为 b . • 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上(有 人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料 厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数 学建模. 这时必须考虑所用材料的体积.
可口可乐罐头为什么是这种样子
问题
• 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮 料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的 高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么 是这样的?
知识准备
• 体积给定的圆柱体, 其表面积最小的尺寸(半 径和高)为多少? 表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有 ： 2 2 2 S (r , h) 2 r h r r 2 [r rh]
(2 rb b )(h (1 )b)
2
2 rhb 2 r (1 )b h b (1 )b
2 2
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• 饮料罐顶盖所用材料的体积为 • 饮料罐底部所用材料的体积为 • 所以, SV 和 V 分别为,
2 2 2
b r
b r
2
2
SV (r , h) 2 rhb r (1 )b 2 r (1 )b h b (1 )b V ( r , h) r h
2 3
• 因为b<<r , 所以带 b , b 的项可以忽略 • 因此: SV (r, h) S (r, h) 2 rhb r 2 (1 )b
探讨
• 更有意思的是, 计算饮料罐的胖的部分的直 径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黄 金分割比 0.618. 这是巧合吗? 还是这样的比 例看起来最舒服, 最美?
模型的求解：
• 一种解法(从约束中解出一个变量，化条件 极值问题为求一元函数的无条件极值问题) 2 2 g ( r , h ) r h V 0 h V / r • 从 解 ,代 入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求r使 2V 2
S (r , h(r )) b[ r (1 ) r ]
记
2
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g (r, h) r h V
2
建立以下的数学模型：
r 0, h 0
min S (r , h)
s.t. g (r , h) 0
• 其中 S 是目标函数， • g (r , h) 0 是约束条件, V 是已知的(即罐内体积 一定), 即要在体积一定 的条件下, 求罐的体积 最小的 r, h 和 使得 r, h 和测量结果吻合. 这 是一个求条件极值的 问题.
• 设饮料罐的半径为 r （因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内 体积为 V. b 为除顶盖 外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材 料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数, 是待定参数.
饮料罐侧面所用材料的体积为
( (r b) r )(h (1 )b)
最小.
• 求临界点: 令其导数为零得
dS V 2b 2b[(1 ) r 2 ] 2 ((1 ) r 3 V ) 0. dr r r
• 解得临界点为
V
3
V r3 (1 )
• 因此
2(1 ) 2 V h ( ) 2(1 )( 3 ) V (1 ) (1 )d (1 )r . 2
验证
• 通过测量重量或容积来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克. • 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮 料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘 米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留 有 10 立方厘米的空间余量.
V r 4
3
一种可能的考虑.
• 粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部 分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘 米, 高为 10.2 厘米的圆柱体. 它们的体积分 别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米.
• 测量数据为 h/d=2, 即 4 1 , =3 , 即顶 盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍. • 为验证这个 r 确实使 S 达到极小。计算 S 的 二阶导数
2V S 4b[2 (1 ) 3 ] 0, r r 0.
• 所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为 临界点只有一个, 因此也是全局极小.
V 2 V V 3 3 0 S (r ) 2 (2r 2 ) 2 (2r ), r , r r 2 V V h 2 r
3
V r 2 h, h V / r 2 .
4 4 V 8V 3 3 2r d 2 2 2 V V 2
验证和进一步的分析：
• 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚 度的 3 倍. • 如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为
V பைடு நூலகம் 6 12 339.3 355
2
即装不下那么多饮料，为什么？模型到底对 不对?
• 按照 , V = 365立方厘米, 可以算得 • r = 3.074 厘米.
2 2 3
• 它顶盖的直径和从顶 盖到底部的高: 约为6 厘米和12厘米. • 中间胖的部分的直径 约为6.6厘米，胖的部 分高约为10.2厘米. • 可口可乐饮料罐上标 明净含量为 355 毫升 (即 355 立方厘米).
简化模型——分析和假设：
• 首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一 定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求 能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的 直径和从顶盖到底部的高之比.
• 实际上，饮料罐的形状是绕其中轴线旋转 而成的立体图形。
• 用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比 其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除 易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作 b , 顶 盖的厚度为 b . • 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上(有 人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料 厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数 学建模. 这时必须考虑所用材料的体积.
可口可乐罐头为什么是这种样子
问题
• 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮 料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的 高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么 是这样的?
知识准备
• 体积给定的圆柱体, 其表面积最小的尺寸(半 径和高)为多少? 表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有 ： 2 2 2 S (r , h) 2 r h r r 2 [r rh]