怎样利用割补法解立体几何中的问题.

例5. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A
B
C
如图,补一个相同的直三棱柱, 连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
A1 C1
A2 C2
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
注意！
复杂的几何体都是由简单几何体
组成，在求体积时，注意利用分割的 思想。另外，应注意改变对几何体的 观察角度，以得到最佳求积法。
例3. 如图：已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,棱长为 a , M、N 分别为 AA1、CC1 的中点,
求：四棱锥 A－MB1ND 的体积
A
D
A
D
B
C
B
C
(
3 3

2a)2

2 3
3a
V正四面体

1 3

S

h
A1

1 3

3 4

(
2a)2

2 3
3a

1 3
a3
B C1
0
E
D
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，
求：此多面体的体积。
A1 B1
A B
解二：用分割法
D1
求：四面体 ABCD 的体积。
A
D E
B
取 BC 的中点 E，
则 AE⊥BC，DE⊥BC。
V V V C
+ 四面体 = B－ADE
C－ADE

1 3

SADE

BE

1 3

SADE

EC

1 3

SADE

BC
48 7
2、如图：正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 3。
求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角。
可得：A1C 3a
CE1
5 2
a
在△A1CE1中，有余弦定理得：
A1E1
13 2
a
cosA1CE1

CE12 A1C2 A1E12 2 CE1 A1C

15 15

0
∴
A1C和
BE
所成的角即为∠A1CE1，其值为
arccos
15 15
小结
割补法是重要的数学方法之一。
在立体几何中利用补形的方法可以既 简单又巧妙地解决很多问题。
2、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3。 求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角的大小。
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，
求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角的大小。
A
p
A1
B1
E
D1 C1
D
C
B
（第1题）
A B
D C
（第2题）
A B
D C
（第3题）
1、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10， BC=AD=12，
V V 4V C1
正四面体
正方体
三棱锥
D C

a3

4

1 6

a3

1 3
a3
例3. 如图：已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,棱长为 a , M、N 分别为 CC1 、 AA1的中点,
求：四棱锥 A－MB1ND 的体积
A
D
A
D
B
C
B
C
N A1 B1
M D1
C1
N A1
B1
M D1
分析：
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。
E
E
∴V几何体=
1 2
V三棱柱
F
F
D
A
D
A
B
CB
C
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。
求：此几何体的体积？
分析：
如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN。
p
B1
M
C1
A B
D
A
C
B
D C
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，
求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角。
A1
D1
B1
E C1
E1 F
A D
B
C
解: 如图，补一个正方体，取 C1F 的中点 E1，则 BE∥CE1
∴∠A1CE1（或其补角）为 A1C与 BE 所成的角。
则 V四棱柱＝ S×h
s ∴ V三棱柱 ＝
1 2
×h
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，
求：此多面体的体积。
A1 B1
A B
D1 C1
D C
解一：
正方体的棱长为 a ，此多面体为正四面体，其棱长为 √2 a
h
(
2a)2
如果AB=PA。
求：平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的大小。
P
P
B1
A
D
A
D
B
C
B
C
如图所示、将左图补成一个正方体。
解： ∴平面 ABP 即为平面 ABB1P 所在平面
∴平面 PDC 即为平面 PDCB1 所在平面
∴所求二面角即为正方体的对角面
即：∠CB1B=
4
PDCB1与侧面
ABB1P所成角
在△AC1B2中，有余弦定理得：
cos AC1B2

AC12 C1B22 AB22 2 AC1 C1B2


48 65

0
B2 ∴ AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角。
其值为：arccos
48 65
练习：
1、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12， 求：四面体 ABCD 的体积。
C1
解(简):
V V A－DMN= M － ADN
S 底面积： ADN

1 2
a

a 2

a2 4
高：为点 M 到平面 ADN的距离 h=a
∴VA－DMN

1 3

a2 4

a

1 12
a3
V 2V ∴ 四棱锥=
A－ DMN=
1 6
a
3
例4. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面ABCD，
华东师范大学附属东昌中学 执教：李雪峰
一、引言
二、用割补法解决立体几何中的几类问题 1、用割补法求体积 2、用补形法求二面角 3、用补形法求异面直线所成角
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。
求：此几何体的体积？
N A1
M D1
N A1
M D1
B1
分析：
分割：
C1
B1
C1
四棱锥 A－MB1ND的底面为菱形，
高：A到底面的距离为多少？
连接 MN，把四棱锥分割成两个三棱锥
S S ∵MB1ND为菱形， ∴ ΔB1MN= ΔDMN ∵高相等
V V ∴ A－B1MN= A－DMN
V 2V ∴ 四棱锥=
A－ DMN
思考：
用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱
E
和一个四棱锥。
N
F ∴ V几何体=V三棱柱+V四棱锥
D
M
A
B
C
例1. 如图: 斜三棱柱的一个侧面 ABB1A1的面积为 S， 侧棱 CC1 到这个侧面的距离为 h 。
求：斜三棱柱的体积。
C1 C
A1 O B1 A
B
A1 A
C1
C B1
O B
如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）
如图：在正方体AC1中，棱长为 a ，有一截面，其中 M、N 分别为 AD、CD 的中点，
求：截面分正方体所成大小两部分的体积之比。
A B
M
D
CN
A1 B1
D1 C1
D A1
D1 A1
D A
C1 C1 B1
C B
B