高三数学立体几何的难点突破3常见的补形法

．
1.8 【解析】 如图 , 把四面体 S – ABC补形为长方体 ADBE– GSHC,
设长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 c，则有 a2 + b2 = (2 5 ) 2 ，
b2 + c2 = (
13
)
2
，
c
2
+
a2 = 5
2
，联立以上三式并解之得：
a = 4 ， b = 2 ， c = 3.
= 1 abh sin . 6
2. 三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体
【例 2】已知正三棱锥 P－ ABC，点 P，A，B，C都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，
D C
A F
B D
PC两两相互垂直，则正三棱锥 P－ ABC球心到截面 ABC的距离为 ________．
【解析】 正三棱锥补成正方体如图， 可知球心 O为体对角线 PD的中点， 且 PO＝ 3，
A
1
1
3
1
体积的 V , 平行六面体 = S底 · h = 1 3 sin
2
，故四面体的体积为
.
3
2
3
2
2
C
【评注】 三棱锥补成四棱锥、三棱柱或正方体可以简化求体积，本题将两异
面的直线段构成的四面体用三种不同的补形探究出
. 结论：在四面体 ABCD中，设
AB= a， CD= b，直线 AB与 CD的距离为 h，夹角为 θ ，则四面体的体积为 V
1. 14 . 【解析】 将三棱锥 V ABC 中补成如图所示的长方体，则三棱锥的 V ABC 的外接球即如
图所示的长方体的外接球，球的直径等于长方体的对角线的长
14 ，∴三棱锥外接球的表面积为
4 r 2 14 .
【变式 2】利用三侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体求四面体的体积
如图所示，在四面体 ABCD 中， AB , BC , BD 两两垂直，且
几种常见的补形法
A 1 四面体的补形法
【例 1】 在四面体 ABCD中，设 AB= 1 ， CD= 3 ，直线 AB与 CD的距离为
B
2，夹角为 ，则四面体的体积等于 ______．
3
E
【解析】 法 1：如图，将四面体 ABCD补成四棱锥 A – BDC，E
且 BE∥ CD， BE= CD，则∠ ABE= 或 2 ， BE= 3 ， CD∥面 ABE，∴ CD与 AB 33
2
A
D
= 5 2，联立以上三式并解之得： a = 4 ， b = 2 ，c = 3. 故 VS – = ABC V 长方体 – 4 VS –
= ABD abc – 4
11
1
abc abc = 8.
32
3
【变式 1】四面体补成长方体求体积
E B
已知四面体 SABC的三组对棱相等，依次为 2 5 、 13 、5，则四面体的体积为
V V V 故 = S – ABC
– 4 长方体
S – ABD
= abc – 4
1
1 abc
1 abc = 8.
32
3
【变式 2】四面体补成正方体等积法求点到面的距离
已知正三棱锥 P－ ABC，点 P， A， B，C 都在半径为
3的球面上，若 PA，PB， PC两两相互垂直，则球
心到截面 ABC的距离为 ________．
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且 CF = 1，则 AB与 CD的距离就是平面 ABE与平面 FCD的距离，即三棱柱的高 h = 2， C
2
且∠ DCF= 或 .
33
D
1
∴ V 柱 = S△FCD · h =
CD CF sin
3 2，
2
3
2
故四面体的体积为
1 V柱
1
.
3
2
法 3：如图，把四面体 ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体
余弦定理求得 x
4.
1
8
V四面体 ABCD = 6
2
2
4= . 3
3. 对棱相等的三棱锥补成长方体
【例 3】已知四面体 SABC的三组对棱相等，依次为 2 5 、 13 、 5，则四面
G
C
体的体积为 .
S
H
【解析】 如图 , 把四面体 S – ABC补形为长方体 ADBE– GSH,C设长方体的
长、宽、高分别为 a、 b、 c，则有 a2 + b2 = (2 5 ) 2， b2 + c2 = ( 13 ) 2， c2 + a2
AB BC 2 ， E 是 AC 的中点，异面直线 AD 与 BE 所成角的
D
Q
余弦值为 10 ，则四面体 ABCD 的体积 . 10
G
H
B A
2. 8 【解析】 依题意把 AB , BC, BD 视为长方体一角的三条
E
3
C
F
棱，将四面体 ABCD 补成长方体 CFAB GHQD . 如图，连结
GF , BF ，则 GFB 就是异面直线 AD 与 BE 所成角，设 BD x , 则 BG2 GF 2 x2 4, BF 2 8 ，由
的距离即为 CD到平面 ABE的距离，亦即 C到平面 ABE的距离就是三棱锥 C – ABE的
高 h = 2 ，∴ VA – = BCD V = A – BEC VC – = ABE 1 h S△ABE 1 2 1 AB BE sin = 1 .
3
3
2
32
B E
法 2：如图，把四面体 ABCD补成三棱柱 ABE– FCD，则面 ABE∥面 CDF，AB∥CF，
R2
a2＋ b2＋ c2 l 2
＝
＝ ( l 为长方体的体对角线长 ) ．
4
4
【变式 1】利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球
的面积
V
在 三 棱 锥 V A B C中 ， VA 底 面 ABC ， ABC 90 ， 若
A
B
C
1
VA 1, AB 2, BC 3 ，则三棱锥外接球的表面积为 _______．
1 又 P 到平面 ABC的距离为 h，则 ×
3 ×(2
2)
2·
h＝
1 ×
1 ×
2×
2×
2.
∴
2 h＝
3 .
34
32
3
【评注】 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体
; 如果三棱锥的三条侧
棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．