【精品课件】高数函数与极限习题

lim
x
x0(1cosx)ln(1 x)
解一
sinxxcos1 原式lxim 0(1cxosx)ln1(xx)
2、间断点的定义
间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性
连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质
最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理
二、例题
例 当 x1时 ,
求 li(m 1x)1 (x2)1 (x4) (1x2n). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
6.复合函数 7.初等函数
8.双曲函数与反双曲函数
（二）极限
数列极限
ln im xn a
函数极限
limf(x)A lim f(x)A
xx0
x
无穷大
两者的
lim f(x) 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
limf (x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
1、极限的定义："N"定义""定义 "X"定义
单侧极限 极限存在的条件
2、无穷小与无穷大
无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系
无穷小的运算性质
3、极限的性质
四则运算、复合函数的极限
4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限； f.利用等价无穷小； g.利用重要极限 5、判定极限存在的准则
2
2
22 2
若 F(0)0,F(1)0,则 2
F(0)F(1) [f(1)f(0)]2 0.
2
2
由零点定理知,
(0,1)使 , F()0.
2
即f(1)f()成.立
2
综上, 必有 一 [0,1] 点 [0,1],
2
使f(1)f()成.立
2
例 设 x 10 ,证 x n 明 11 2(x nx a n)有(极 a0 )限 证 显然 xn0
夹逼定理、单调有界原理
6、两个重要极限
(1) lim six n1 x 0 x
limsin1; 某过程
(2) li(m 11)xe x x
1
1
lim (1x)x e lim(1) e.
x0
某过程
7、无穷小的比较 8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性
（三）连续
连续定义
lim y0
x0
xl ixm 0 f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
1、连续的定义
单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
x
limf(x)limcos 0.
x1
x1
2
lif m (x )lif m (x )
x 1
x 1
limf(x)lim (x1)0. 故 f(x)在 x1连.续
x1
x1
f(x )在 (, 1 ) ( 1 ,)连 . 续
例 设 f(x)在闭 [0,1区 ]上间 连 ,且 f(0 续 )f(1),
证明必 [0 有 ,1]使 一 f(得 点 1)f().
2
证明 令 F (x)f(x1)f(x),
2
则F(x)在[0,1]上连. 续
2
F(0)f(1)f(0), 2
F(1)f(1)f(1),
2
2
讨论: 若 F(0)0, 则0, f(01)f(0);
2
若F(1) 0, 则 1 , f(11)f(1);
又limp(x)1, x x0
p ( x ) x 3 2 x 2 a b x ~ x ( x 0 )
从而 b0 得 ,a1. 故 p (x ) x 3 2 x 2 x
x1, x1
例6
讨论 f(x)cos2x,
的连续 . 性 x1
解 将f(x)改写成
1 x, x 1 f (x) cos2x, 1 x 1
第一章 函数与极限习题课
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数
xn11 2(xnxan) a
xn1xຫໍສະໝຸດ Baidu12(xanxn)
1 a xn2 0 2 xn
即xn单调减，有下界
故由单调有界原理得 ln imxn存在
设 ln i m xnA ，A 则 0
在xn1 12(xnxan)两边取极限得
A1(A a) 2A
解得 A a,A a（舍去）
例求
sinx x2 cos1
lx i0s m x ixn 1x c2o x(s 1s1 ixn )co xs12
1
原 式 e2 .
例 设p(x)是多项 ,且式 lx i mp(xx)2x3 2, limp(x)1,求p(x). x x0
解 lx i mp(xx)2x3 2, 可 p (x 设 )x32x2a x b (其 a ,b 中 为待 )
x 1, x 1
显 f(x ) 然 在 (, 1 )( ,1 ,1 )(1 ,,) 内 .连续
当 x1时 ,
limf(x)lim (1x)2.
x1
x1
lif m (x )lif m (x )
x 1
x 1
limf(x)limcosx0. 故 f(x)在 x1间.断
x1
x1
2
当x1时,
1 x
n
例 求lim (1tanx)x13. x0 1sinx
解 原式 li[m 1(1tax n1)x 1 ]3 x 0 1sixn
lim [1taxnsix n]x13
x 0
1six n
lx i0m ta 1 xn ssix n ix nx13lx i0m (s1ix n s(1i x n)ccoo xx)ssx13
原 li 式 ( 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
n
1 x
(1 x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)
lim
n
1 x
(1x2n)1(x2n)
1 x2n1
lim
lim
n
1x
n 1 x
1 . ( 当 x 1 时 ,lix m 2 n 10 .)