高等数学 -多元函数的极值及其求法

16
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y x , 故有 dx y
23
例5：某公司可通过电台及报纸两种方式做商品销售
广告，根据资料知销售收入 R（万元）与电台广告费用
x 万元, 报纸广告费用 y 万元, 之间的关系公式：
R 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2
1、在广告费用不限的情况下求最优广告策略。
2、若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略
x y 1.5
x 0
y
1.5
即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
32
例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本
不同，第一个工厂生产 x 件产品和第二个工厂生产 y
件产品时的总成本是; Cx, y x2 2 y2 5 x y 700
若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总
解：最优广告策略即为用于广告费多少时可使得利润
函数 Lx, y 最大。由题意可知： Lx, y 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2 x y
15 13x 31y 8x y 2 x2 10y2
Lx 13 8 y 4 x 0 Ly 31 8 x 20 y 0
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10
2
22
SCΒιβλιοθήκη 1 2AB AC设拉格朗日函数
yA
B
D
C
o
2 x 3y 10 8 x 0 解方程组
4x2 9y2 1 ( x 0 , y 0 )
Ex
得驻点
对应面积
而 三角形面积最大。
比较可知，点 C 与 E 重合时 ,
例1. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离.
解：设
为抛物面 z x2 y2 上任一点，则 P
到平面 x y 2z 2 0 的距离为
问题归结为
目标函数: (x y 2z 2)2 (min)
约束条件: x2 y2 z 0
作拉氏函数
F(x, y, z) (x y 2z 2)2 (z x2 y2 )
14
2
2
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制。 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制。 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 化
从条件(x, y) 0中解出 y (x)
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题。
但驻点不一定是极值点.
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
5
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
得：
x 125
y
375
根据题意可知：当第一个工厂生产125件产品，第二个
工厂生产375件产品该公司的总成本最低。
33
作业 P118 3，5，6，8， 10
34
习题课
第八章
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
35
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质
再求 f ( x, y)在 D边界上的最值，
在边界 x 0和 y 0上 f ( x, y) 0,
12
在边界 x y 6上，即 y 6 x
于是 f (x, y) x2 y(4 x y)
y
x y6
x2 (6 x)(2) 2x3 12x2
D
由 fx 6x2 24x 6x(x 4) o
解方程组
fx (x, y) 2xy(4 x y) x2 y 0 f y (x, y) x2 (4 x y) x2 y 0
y
x y6
D
fx (x, y) 8 3x 2 y 0
o
x
f y (x,
y)
4
x 2y
0
得区域 D内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
z
x
x
y
z
z y
在点 (0,0) 无极值.
y
x
4
定理1 (必要条件) 函数
偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
fx (x0, y0 ) 0 , f y (x0, y0 ) 0
证:
取得极值 , 故
存在
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
38
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
39
由实际意义最小值存在 , 故
7 46
21
例2 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
试在椭圆 x2 y2 1 (x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 94
△ABC 面积 S△最大.
yA
B
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), D
C 则
o
Ex
i 3
j 1
x 0.75
y
1.25
31
2、若广告费用为1.5万元,则需求利润函数 L(x, y) 在 x y 1.5 时的条件极值,辅助函数为:
Fx, y 15 13 x 31 y 8x y 2 x2 10y2 x y 1.5
FFxy
13 8 y 31 8 x
4x 0 20 y 0
高等数学
第十一讲
第八节
第九章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
2
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
3
例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值;
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值; 7
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
0,
zy
(x2
y2 1) 2 y( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
因为
lim
x
x
2
x
y y2
1
0
即边界上的值为零.
zy(1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2. 几个基本概念的关系
连续性
偏导数存在
方向导数存在
可微性
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一、主要内容
平面点集 和区域
极限运算
多元连续函数 的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
37
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数的极值
全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用
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推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
(x, y, z) 0下的极值.
设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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x
得x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,
f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值. 13
例2
求z
x2
x y 的最大值和最小值. y2 1
解由 zx
(x2
y2 1) 2x( x ( x2 y2 1)2
y)
成本最小。
解：根据题意是求 Cx, y x2 2 y2 5 x y 700
在条件 x y 500 下的极值。作辅助函数：
Fx, y x2 2 y2 5 x y 700 x y 500
Fx 2 x 5 y 1 Fy 4 y 5 x 2
x y 500
3
1 2 y 3x 代入 3
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
B
C
8
例2.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
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F(x, y, z) (x y 2z 2)2 (z x2 y2 )
Fx 2(x y 2z 2) 2 x 0 令 Fy 2(x y 2z 2) 2 y 0
Fz 2(x y 2z 2)(2) 0
z x2 y2
解此方程组得唯一驻点 x 1 , y 1 , z 1. 4 48
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
z
o xy
0
当 x2 y2 0 时, z (x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
9
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
10
例1 求二元函数 z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6， x轴和 y轴所围成的闭区域D上的
最大值与最小值. 解 如图,
先求函数在 D内的驻点，
y
x y6
D
o
x
D
11
z f (x, y) x2 y(4 x y)
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P122) .
6
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
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fx fy x y fx x 0 极值点必满足 f y y 0
(x, y) 0 引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.