数形结合的思想及其应用

数形结合思想及其应用

内容摘要：数形结合是解决数学问题的重要方法之一，在提示数学原理结构的同时，简化了题过程，避免繁杂的计算和推理，从而达到锻

炼、陪养了学生的形象思维以及抽象思维的教学目的。巧妙运用

数形结合的数学思想来探寻解题的思路，往往可以达到事半功倍

的效果。

关键词：数形结合数学原理

1.引言

数学是集科学性、思想性、方法性和知识性于一体的一门基础性学科，探究数形之间的关系来解答习题在数学教学中占有重要意义。通过把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，“以形助数”或“以数解形”可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化教学目的的效果。其中，“数”与“形”相互结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题可以相互转化，使抽象与具体有机组合。

应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的关系，将其中的内在联系可以在图形或者数轴上表示，使之转化为求解几何或者代数问题，并最终达到预期效果。既要分析其代数意义又要揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

正如华罗庚所指出“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直观,形少数时难入微”。在数学教学中如果能够经常引导学生用图形直观地研究代数、几何问题,用数、式对图形的性质进行丰富、精确、深刻的探讨,将对提高学生数学能力,分析问题、解决问题的能力是大有裨益的。

2.数形结合的思想方法概述

2.1数行结合思想方法概述及价值分析

数形结合是数学解题中的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，有助于学生们去了解和把握数学问题的实质，并且运用数形结合思想，一些难题、怪题，可以简单易懂，解题思路变化多变。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转

化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常常与几个内容有关：（1）实数

与数轴上点的位置关系；（2）函数与图像之间的位置关系；（3）曲线与方程

之间的位置关系；（4）运用几何条件和几个元素构造的函数，如复数、三角

函数等；（5）所给的等式或者是代数式有明显的价值意义，如等式等；（6）

高等数学中，对一些定理或者性质的描述和表达，如凸函数、凹函数等。我

们可以想象一下，在距离我们并不久远的高考中，数形结合思想在中间运用

的非常广泛，运用数形结合思想，不仅可以节约时间，而且对结果求证的正

确率也大大提高，而在其中，我们研究最多的就是“以形助数”，用简单的

数学图形表达复杂的数学思想，从而快捷的达到问题的结果。

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式的问题

中，求函数的值域或是最值问题上，在求复数和三角函数解题中，运用数形

结合思想，不仅可以直观发现解题的途径，而且能够避免复杂的计算与推理，

大大简化了解题的过程。这些思想在解答选择、填空题中占有及其重要的作用，我们在善于培养这方面的能力，争取做到看到一道题，心中可以画出图

形的状态，开拓我们的思维，增加我们的视野。

2.2．数形结合思想方法的辩证分析

每一种数学方法的使用都有其逻辑依据、适用范围，超出了一定的适用范围，就会导致错误的发生，因此要一分为二地认识数形结合的思想方法。由数想到形的时候，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础，尤其在做线性规划的时候，当我们没有画出标准的图形的时候，我们无法得到正确的目标函数的答案，由此，可能会导致结果的严重偏差。

数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势。“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台和模式，而“数”才是其真正的主角，有些同学在做一些应用问题时，仅仅是表述“如图所示”，却没有更多的文字表述，这就犯了我们常说的形式主义的错误。所以，我们必须人情主次，否则，肯定会导致运用数形结合的谬用。

在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像

的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，

而不是全部。常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分

而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数

图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。

例1 ：较n 2与2n (n 大于1的自然数)的大小

错解：在同一坐标系中分别画出函数=y x 2及=y 2x 的图像，如图2-2所示 ,

由图可知，两个图像有一个公共点。当=x 2时，x 2 ＝2x ，当2>x 时

有x 2<2x 成立,所以，当n = 2时 n 2 =2n ，而且当n 是大于2的自然数时，n 2<2n ，

评析：事实上，当n = 4时，n 2与2n ，也相等；n = 5时，n 2>2n .错解是因为没有充分注意到两图像的递增“速度”要比较两个图像的递增速度，确实很难由图像直观而得。本题可以先猜想，后用数学归纳法证明。本题的正确答案是 当n = 2、4 n 2=2n ， 当n = 3 ， n 2<2n ， 当n 是大于4的自然数时，n 2 >2n ， 证明略。

例2：关于x ，y 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+2222

221c

x y b y a x (a>b>0,c>0)有四组实数解，求a ，b ，c

应满足的关系。

错解：已知方程组中有两个方程分别是椭圆各抛物线的方程，原方程组有四组解等价于椭圆与抛物线有四个不同的公共点。如上的左图，由图可知，b c -<-2，

且 a c <，即a c b <<。

评析：观察图像过于草率！事实上，上图2-5中的右图也是一种可能的情形，

即当a c ≥2时，仍有可能为四组解，例如当a = 2， b=1，c=2 时，可得解集为：｛（2，0），（-2，0），（215，14-），（-215，14

-）｝。现在用数形结合来求解：考虑一元二次方程122

22=++b

y a c y ，即)(222222a c b y b y a -++，令△＝０（即相切情形），解得a

b a

c 242

4+=，结合图像，注意到b c -<-2，则a 、b 、c 应满足的关系是a b a c b 242

4+<

< “形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还

要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的。

数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强。

但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险。因此，我们要慎之又慎，要扬长避

短，要全面合理分析，直观的同时，辅有严谨的演绎。

［1］

3.数形结合思想在数学中的应用

在数学教学中发现:渗透数形结合的数学思想,将“数”与“形”两者结

合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,可以帮助学生高效的分