沪教版高中数学14.3《空间直线与平面的位置关系》课件

∴ a⊥m ,a⊥n ∵ b∥a
a
b
∴ b⊥m ，b⊥n
m
∴ b⊥α
α
n
例2 已知：bα，c α,b∩c=E，
β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。 a
求证：a⊥α 。
β
γ
α
bEc
证明：
∵ b⊥β， β∩γ=a，
∴ b⊥a ；
∵ c⊥γ，β∩γ=a，
∴ c⊥a ；
∵ b∩c=E，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
bα ，
cα ,
α
l
A
AB=A’B
B
m
n
g
α
A’
l
A
AB=A’B
B
m
n
g
α
A’
l
A
AB=A’B
B
m
n
g
α
A’
l
A
B
m
n
g
α
A’
l
A
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
l ⊥m
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
l ⊥m
B m
α
C
A’
l ⊥m
l
A
AC=A’C
B m
α
C
A’
l
A
AD=A’D
∴AC⊥BD’
A
C’ B’
C B
l
A
B
m gn D
α
C
E
A’
练习
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直 线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的 平面？为什么？
14.3 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
• 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一 条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α 互相垂直，记作 l ⊥α。（如图）
• 直线 l 叫做平面α的垂线。 • 平面α叫做直线 l 的垂面。 • 直线 l 和平面α的交点叫做垂足。
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
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二、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥
m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
l
B
m
n
α
l
l
B
m
n
α
l
B
m
n
α
l
B
m
ng
α
l
B
m g
ng
l ⊥α
小结
这个定理还说明这样一个事实，的确存 在着和一个平面内一切直线都垂直的直线， 从而得证了直线和平面垂直的合理性。
这个定理不仅提供了判定直线和平面垂 值得一种方法，而且还是证明直线和直线 互相垂直的一种常用的方法，即要想证明 a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相交 直线垂直（或证b与a所在平面内的两条相 交直线垂直）。
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
B
m gn D
α
C
E
CD=CD
A’
l
A
△ACD≌△A’CD
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
∠ACE=∠A’CE
B
m gn D
α
C
E
A’
AC=A’C
l
A
CE=CE
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
B
m gn D
α
C
E
△ACE≌△A’CE A’
l
A
AE=A’E
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
AE=A’E
AB=A’B
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
AE=A’E
AB=A’B
B
g
α
E
A’
l
A
B
Eg
AE=A’E
AB=A’B
l ⊥g
α
A’
直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
注：m α
nα
m∩n=B
l⊥m l⊥n
5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边， 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直？为什么？
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 （此定理可看作线面垂直的判定公理二）
已知：a∥b，a ⊥α
a
b
求证：b⊥α
m
α
n
证明：在平面α 内作两条相交直线m，n
∵ a⊥α
∴ a⊥α。
α
a
β
γ
bEc
例3 已知：正方体
中，AC是面对角线，
D′
BD’是与AC 异面的
体对角线。
A′
求证：AC⊥BD’
D
A
C′ B′
C B
证明：
连接BD ∵正方体ABCD-A’B’C’D’
D’
∴DD’⊥正方体ABCD A’
∵AC、BD 为对角线
∴AC⊥BD
∵DD’∩BD=D
D
∴AC⊥△D’DB