第二章 连续LTI系统微分方程式建立

信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
原理：t =0 时刻微分方程左右两端δ(t)及各阶
导数应相等 !
例2.3.3：
d r (t ) 3r (t ) 3 (t ) dt
分析过程 数学描述
已知
r (0 )，求 r (0 )
29
信号与系统 d
dt
r (t ) 3r (t ) 3 (t )
a 2 求得 b 7 a 12 c 7b 10a 8
所以
4 14 r (0 ) r (0 ) 2 2 5 5 d r (0 ) d r (0 ) 2 2 dt d t
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信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
(0 t 0 )
代入微分方程
a (t ) b (t ) cu(t ) 7 a (t ) bu(t ) 10au(t )
2 (t ) 12 (t ) 8u (t )
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信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
r (0 ) r (0 ) a 2 d r (0 ) d r (0 ) b 2 dt 因而有 d t d2 d2 2 r (0 ) 2 r (0 ) c 2 dt d t
r (0 ) r (0 ) b 9
所以得
31
即 r (0 ) r (0 ) 9
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
例2.3.4：描述LTIS的微分方程为
d2 d d2 d r (t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 e(t ) 6 e(t ) 4e(t ) 2 dt dt dt dt 4 d r (0 ) 0, 输入 e(t ) 如图，已知 r (0 ) 5 dt e t d r (0 ) 用冲激函数匹配法求r (0 ) 4 dt 2 解：将 e(t ) 2u (t ) 代入微分方程，
2
信号与系统
二、系统分析过程
列方程 经典法： 全解=齐次解+特解 解方程 双零法 零输入： 可用经典法 零状态： 卷积积分法 (新方法) 变换域法： FT, LT
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信号与系统
§2.2 微分方程的建立与求解
一、微分方程的建立 根据元件特性约束和网络拓扑约束。
4
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.1：求并联电路的端电压 v (t ) 与激励 is (t ) 间关系。
Ci, Ei 均为常数。
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信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
（一）齐次解 rh(t)
由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式 特征根 齐次解的形式
单根
k重实根

Aet
A1et A2tet Ak t k 1et

1, 2 a jb
A1e at cosbt A2e at sin bt
信号与系统
一、系统响应的划分
H [t.] h
et
r t
r (t ) H [{x(0)}] H [e(t )]
零输入响应 rzi(t) 零状态响应 rzs(t)
{x(0-)}
零输入响应： 外加激励e(t) =0，只由起始状态 x(0-) 产生的响应。 是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由 r(0+)=r(0-) 求出齐次解rzi(t)的待定系数。 零状态响应： 起始状态r(0-) =0，只由外加激励e(t)≠0产生的响应。 将e(t)代入方程求齐次解加特解，由冲激函数 匹配法求r(0+), 再求全解rzs(t)的待定系数。
分析过程
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
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信号与系统 d
dt
r (t ) 3r (t ) 3 (t )
数学描述
方程右端含 (t ) 项，它一定属于 设 则 代入方程
d r (t ) dt d r (t ) a (t ) b (t ) cu (t ) dt
vC (0 ) vC (0 ), iL (0 ) iL (0 ).
3.但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作 用于电感，0_ 到 0+ 状态就会发生跳变。 4. 如果微分方程右端包含 (t ) 及其各阶导数项，则系统从 0_ 到 0+ 状态有跳变。
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信号与系统
(一)电容电压的跳变 由伏安关系
E
t
p
B
B1t p B2 t p1 Bpt Bp1
e t
Be t
Bte t
α 不等于特征根
α等于特征单根
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信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
例2.2.4 给定微分方程式
已知：
求两种情况下的特解。
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信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
（三）全解 齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数 Ak 例2.2.5：求如下微分方程的全解。
2
d d t y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) e 2 dt dt
y(0) 0 , y '(0) 0
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信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
d2 d t y ( t ) 6 y ( t ) 5 y ( t ) e dt 2 dt
解: 齐次方程为
t≥0 ，得
O
t
d2 d r (t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 (t ) 12 (t ) 8u(t ) 2 dt dt
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信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t ) ，因而有
d2 d t 2 r (t ) a (t ) b (t ) cu (t ) d d t r (t ) a (t ) bu (t ) r (t ) au (t )
6
d2 v t d v t d FS t m f kv t 2 dt dt dt
信号与系统
二、 n 阶LTI系统微分方程的一般形式
一个 n 阶LTI系统，e(t)与r(t)的关系可以用
下面一般形式的n 阶线性常微分方程描述。
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
解：特征方程
特征根 零输入响应 由起始条件
0 状态，初始条件，也称导出的起始状态
2 n 1 d r (0 ) d r (0 ) d r (0 ) (n) r (0 ) r (0 ), , , 2 n 1 d t d t d t
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信号与系统
一、起始点的跳变
说明：
1.对于电路，系统 0_ 状态就是系统中储能元件的储能情况; 2.一般情况下换路期间满足换路定则：
特征方程：
特征根：
d2 d y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) 0 2 dt dt
2 6 5 0
1 5， 2 1
该方程的齐次解为：yh (t ) A1e 5t A2 e t 激励函数中α = -1，与微分方程的一个特征根相 同，因此特解为：
is (t )
iR
R
C
iC
L
iL

v(t )

解：
5
d iS (t ) d 2 v(t ) 1 d v(t ) 1 C v(t ) 2 dt R dt L dt
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.2 如下图机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由弹簧
m
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为 f ，外加牵引力为Fs(t)，求其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度 v(t)间的关系。 解：
根据电路形式，列回路方程
列结点电压方程
(1)
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信号与系统
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程 特征根 齐次解 特解 方程右端自由项为 要求系统的完全响应为
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代入式(1)
信号与系统 (3)
换路前
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信号与系统
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有
20
信号与系统
(4)
要求的完全响应为

习题2-5
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信号与系统
§2.4 零输入响应和 零状态响应
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信号与系统
一、系统响应的划分
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input + Zero-state)
全响应
自由响应＋强迫响应
(Natural + Forced)
暂态响应+稳态响应
(Transient + Steady-state)
37
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信号与系统
一、系统响应的划分
自由响应： 由系统本身特性决定。对应于齐次解。
强迫响应： 形式取决于e(t)。对应于特解。
暂态响应： t ∞时，响应趋于零的部分。
稳态响应： t ∞时，响应留下的部分。
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信号与系统
二、零输入响应
例2.4.1： 求系统的零输入响应
d2 d d r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) e(t ) 3e(t ), r (0 ) 1, r '(0 ) 2 2 dt dt dt
r (t ) a (t ) bu(t )
得出
a (t ) b (t ) cu(t ) 3a (t ) 3bu (t ) 3 (t ) a 3 a 3 b 3a 0 即 b 9 c 9 c 3b 0
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y p (t ) Bt et
信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
2 d d -t -t -t -t 代入原微分方程得 ( Bte ) 6 ( Bte ) 5( Bte ) e 2 dt dt 1 B 求得 4 1 t 所以特解为 y p (t ) te 4 1 t 5t t 全解为 y (t ) yh (t ) y p (t ) A1e A2e te 4
代入初始条件 所以有
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y (0) y’ (0) 0
求得
1 1 A1 , A2 16 16
1 1 1 y (t ) e 5t e t tet 16 4 16
t 0
信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
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信号与系统
（1）列写电路的微分方程
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信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
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信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
系统的特征方程为
特征根
因而对应的齐次解为
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信号与系统
三、线性时不变系统经典法求解
（二）特解 rp(t)
由微分方程右端 e(t) 形式 设具有系数的特解 r(t) 代入原方程 激励函数e(t) 比较系数定出特解。 响应函数 r(t) 的特解
信号与系统
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
1
引言 微分方程的建立与求解 起始点的跳变(从0-到0+) 零输入响应和零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积 卷积的性质
信号与系统
§2.1 引言
一、系统数学模型的时域表示法
输入输出描述： 一 元 N 阶微分方程 状态变量描述： N 元 一 阶微分方程
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信号与系统
§2.3 起始点的跳变
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信号与系统
一、起始点的跳变
00+ O t
t 0
0 状态，起始状态
2 n 1 d r (0 ) d r (0 ) d r (0 ) (n) r (0 ) r (0 ), , , 2 n 1 d t d t d t
当有冲激电流作 用于电容时0-到 0+有跳变。
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信号与系统 例2.3.1
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当有阶跃电压作用 于电容时，0-到 0+有跳变。
信号与系统
(二)电感电流的跳变
如果
为有限值，
当有冲激电压作 用于电感时，0到0+有跳变。
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信号与系统 例2.3.2
iL (t )
Is(t)
L
VL(t)
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当有阶跃电流作用 于电感时，0-到 0+有跳变。