第四章插值和曲线拟合
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两种用来求 f(x) 的近似函数φ(x) 的重要方法。
第一节 插值法的基本理论
一、 插值问题
设函数 y = f(x) 给出了一组函数值 yi = f(xi) , i = 0, 1, …, n ，或 者给出了如下的一张表
x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn
f ( (n1) )
Rn (x) (n 1)! wn1(x)
其中 wn+1(x) = (x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第二节 拉格朗日插值
为了得到n次的拉格朗日插值多项式，我们从最简单的一次、 二次插值开始。
一、一次插值（线性插值）
已知 x0 x1
求 P1(x)
y0 y1
因 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1
代数多项式插值。 代数多项式插值的任务就是根据 n+1个点 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn
构造一个次数不超过 n 的多项式 Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
使满足插值原则
Pn(xi) = yi , i = 0 , 1 , … , n 。
第四章 插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往 没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一 系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较 复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知 的数据去寻求某个简单的函数φ(x)来逼近f(x),即用φ(x) 作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是
(x1,y1) (x2,y2) (x0,y0)
(xn-1,yn-1)
0 x0 x1
x2 …
Xn-1
xn x
插值函数φ(x)的类型
在插值问题中，插值函数φ(x)的类型可有不同的选择,如代 数多项式、三角多项式、有理函数等，但是最简单而常用的是代 数多项式，这时就称为代数多项式插值。在本章，我们主要讨论
Pn(x)称为 f(x) 的 n次插值多项式。
二、插值多项式的误差
函数 f(x)用n次插值多项式Pn(x)近似代替时，截断 误差记为
Rn(x)=f(x)-Pn(x) 称 Rn(x)为n次插值多项式Pn(x)的余项。
定理 设函数f(x)在包含基点x0 , x1 , x2 , … , xn 的 区间[a,b]上具有n+1阶导数, Pn(x)为满足Pn(xi) = yi的n次 插值多项式,则对任一点x∈[a,b],总存在相应的点 (a,b), 使
L1(x)= 1 , x = x1
0 , x = x1 ,
0 , x = x0
线性插值举例
例 已知 1001/2 =10，1211/2 =11
求 1151/2
解 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0)
P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100)
所以 P1(x)=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) （线性插值多项式）
上式可改写为：
P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) （拉格朗日线性插值多项式）
L0(x)=(x-x1)/(x0-x1),L1(x)=(x-x0)/(x1-x0)
L0(x)、L1(x)特点：
L0(x)= 1 , x = x0
P2(xi)=yi , i = 0, 1, 2
设 P2(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 , 则
当x = x0 时, P2(x0) = y0
L0(x) = 1, L1(x) = 0, L2(x) = 0
当x = x1时，P2(x1) = y1
L0(x) = 0, L1(x) = 1, L2(x) = 0
同理可得 L1(x)=(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)]
L2(x)=(x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)]
Hale Waihona Puke Baidu
综上可得 P2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)]
根据插值原则求其余点x的函数值φ(x)称为插值,x称为插值 点；根据插值原则求f(x)近似函数φ(x)的方法称为插值法。
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点:
(xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ(x) 代替y=f(x)。如下图所示。
y
y= φ(x)
y=f(x) (xn,yn)
构造一个简单的函数φ(x) 作为f(x)的近似表达式，以满足 φ(xi) = yi , i = 0 , 1 , … , n
我们称这样的问题为插值问题。
其中φ(xi) = yi 称为插值原则;φ(x)称为f(x)的插值函数；
f(x)称为被插值函数; x0 , x1 , x2 , … , xn称为插值基点 (或节点)。
当x = x2时，P2(x2) = y2
L0(x) = 0, L1(x) = 0, L2(x) = 1
由上知 L0(x) = 1, x = x0
0, x = x1, x2
令 L0(x)=A0(x-x1)(x-x2)
则 A0=1/[(x0-x1)(x0-x2)]
所以 L0(x)= (x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)]
或
P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) P1(115) = 10*(115-121)/(100-121)
+11*(115-100)/(121-100)
二、二次插值(抛物线插值)
二次插值问题：已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2 ,要构造次 数不超过二次的多项式P2(x)=a0+a1x+a2x2,使满足
+y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)]
该式称为拉格朗日二次插值多项式。
二次插值举例
例 已知函数y=f(x)的观测数据如下表所示，试求其拉格朗 日插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。
x
0
1
2
y
2
-1
4
解 P2(x) = y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2) /[(x1-x0)(x1-x2)]+y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)]
第一节 插值法的基本理论
一、 插值问题
设函数 y = f(x) 给出了一组函数值 yi = f(xi) , i = 0, 1, …, n ，或 者给出了如下的一张表
x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn
f ( (n1) )
Rn (x) (n 1)! wn1(x)
其中 wn+1(x) = (x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第二节 拉格朗日插值
为了得到n次的拉格朗日插值多项式，我们从最简单的一次、 二次插值开始。
一、一次插值（线性插值）
已知 x0 x1
求 P1(x)
y0 y1
因 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1
代数多项式插值。 代数多项式插值的任务就是根据 n+1个点 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn
构造一个次数不超过 n 的多项式 Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
使满足插值原则
Pn(xi) = yi , i = 0 , 1 , … , n 。
第四章 插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往 没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一 系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较 复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知 的数据去寻求某个简单的函数φ(x)来逼近f(x),即用φ(x) 作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是
(x1,y1) (x2,y2) (x0,y0)
(xn-1,yn-1)
0 x0 x1
x2 …
Xn-1
xn x
插值函数φ(x)的类型
在插值问题中，插值函数φ(x)的类型可有不同的选择,如代 数多项式、三角多项式、有理函数等，但是最简单而常用的是代 数多项式，这时就称为代数多项式插值。在本章，我们主要讨论
Pn(x)称为 f(x) 的 n次插值多项式。
二、插值多项式的误差
函数 f(x)用n次插值多项式Pn(x)近似代替时，截断 误差记为
Rn(x)=f(x)-Pn(x) 称 Rn(x)为n次插值多项式Pn(x)的余项。
定理 设函数f(x)在包含基点x0 , x1 , x2 , … , xn 的 区间[a,b]上具有n+1阶导数, Pn(x)为满足Pn(xi) = yi的n次 插值多项式,则对任一点x∈[a,b],总存在相应的点 (a,b), 使
L1(x)= 1 , x = x1
0 , x = x1 ,
0 , x = x0
线性插值举例
例 已知 1001/2 =10，1211/2 =11
求 1151/2
解 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0)
P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100)
所以 P1(x)=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) （线性插值多项式）
上式可改写为：
P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) （拉格朗日线性插值多项式）
L0(x)=(x-x1)/(x0-x1),L1(x)=(x-x0)/(x1-x0)
L0(x)、L1(x)特点：
L0(x)= 1 , x = x0
P2(xi)=yi , i = 0, 1, 2
设 P2(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 , 则
当x = x0 时, P2(x0) = y0
L0(x) = 1, L1(x) = 0, L2(x) = 0
当x = x1时，P2(x1) = y1
L0(x) = 0, L1(x) = 1, L2(x) = 0
同理可得 L1(x)=(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)]
L2(x)=(x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)]
Hale Waihona Puke Baidu
综上可得 P2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)]
根据插值原则求其余点x的函数值φ(x)称为插值,x称为插值 点；根据插值原则求f(x)近似函数φ(x)的方法称为插值法。
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点:
(xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ(x) 代替y=f(x)。如下图所示。
y
y= φ(x)
y=f(x) (xn,yn)
构造一个简单的函数φ(x) 作为f(x)的近似表达式，以满足 φ(xi) = yi , i = 0 , 1 , … , n
我们称这样的问题为插值问题。
其中φ(xi) = yi 称为插值原则;φ(x)称为f(x)的插值函数；
f(x)称为被插值函数; x0 , x1 , x2 , … , xn称为插值基点 (或节点)。
当x = x2时，P2(x2) = y2
L0(x) = 0, L1(x) = 0, L2(x) = 1
由上知 L0(x) = 1, x = x0
0, x = x1, x2
令 L0(x)=A0(x-x1)(x-x2)
则 A0=1/[(x0-x1)(x0-x2)]
所以 L0(x)= (x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)]
或
P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) P1(115) = 10*(115-121)/(100-121)
+11*(115-100)/(121-100)
二、二次插值(抛物线插值)
二次插值问题：已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2 ,要构造次 数不超过二次的多项式P2(x)=a0+a1x+a2x2,使满足
+y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)]
该式称为拉格朗日二次插值多项式。
二次插值举例
例 已知函数y=f(x)的观测数据如下表所示，试求其拉格朗 日插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。
x
0
1
2
y
2
-1
4
解 P2(x) = y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2) /[(x1-x0)(x1-x2)]+y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)]