Ch 7.1 图的基本概念

标定图,非标定图,基图
标定图(labeled graph): 顶点或边带标记 非标定图(unlabeled graph): 顶点和边不带标记 基图(底图): 有向图去掉边的方向后得到的无向图
b
c
a
d
相邻(adjacent), 关联(incident)
相邻: 点与点,边与边
邻接到,邻接于: u邻接到v, v邻接于u
……
实例(1) 单词图
给定3字母的单词集S={BIT, BAT, BUT, CAT, HAT, BAD, BAR}
如果单词W2 能够由单词W1通过下列步骤之一获得， 称 W1 可以变换为W2
(1) 交换W1 中两个字母 (2) 用另外一个字母来替代W1中的一个字母 如果两个单词可以互相变换，则对应的G中的顶点就
解得, n8
握手定理的应用(2)
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否 可能每个人恰好与其他3个人意见一致？
解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两 个人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是3度。 原图存在奇数个奇数度的顶点，这是不可能的。
说明 (1) 很多离散问题可以用图模型求解。 (2)图模型中，边经常代表两个顶点之间的关系。 (3)为建立图模型，需决定顶点和边的含义。
关于图的说明
一个图由若干个结点和边所组成，与边的长短及结 点的位置无关。
图可简记为G=<V, E>，其中V 是非空结点集，E 是 边集 。
a
e1 b
e6 e2 e3
e4
e5
c
a
d
e1
b e4
e3 e5
e6
d e2
c
无向图(undirected graph)
无向图(graph): G=<V,E>,
关联:点u与边e彼此相关联
关联次数: 1 1
2
环(loop):只与一个顶点关联的边
孤立点 (isolated vertex):
平行边 (parallel edge):
uv
邻域(neighborhood)
对于任意无向图G， 邻域: NG(v)={u|u∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u≠v} 闭(closed)邻域: NG (v) NG (v) {v} 关联集: IG(v) = { e | e与v关联}
K3,3
K5
完全图、正则图的性质
n阶k正则图的边数 m=nk/2 ， = = k
无向完全图 Kn 的边数为 n(n-1)/2. n阶有向完全图的边数是 n(n-1).
(1)
(2)
(3)
度数列
度数列: 设G=<V,E>,V={v1, v2, …, vn}, 称 d = (d(v1), d(v2), …, d(vn))为G的度数列.
E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<
c,b>,<d,c>,<c,d)}
e
n阶图,零图,平凡图,空图
无向图G=<V,E>, V(G)=V, E(G)=E 有向图D=<V,E>, V(D)=V, E(D)=E n阶图(order-n graph): |V(G)|=n 有限图(finite graph): |V(G)|<∞ 零图(null graph): E=∅, Nn 平凡图(trival graph): 1阶零图, N1 空图(empty graph): V=E=∅, ∅
教材及参考图书
教材： 离散数学教程，屈婉玲等著，北京大学出版社。
参考图书： Graph Theory, R.Diestel,Springer, 现代图论(影印版),科学出版社-Springer 离散数学及其应用, 机械工业出版社
7.1 图的基本概念
图的定义,无向图,有向图,简单图 度,握手定理,度数列,可(简单)图化 简单图和多重图 图的同构 图族 学习要点与基本要求 实例分析
上述例子中，都定义一个图 G，其顶点就是集合的 元素，当G的两个顶点满足上述条件时，二者邻 接。图G对所给的情形建立了模型，对于涉及上述 情况的问题，通常通过研究其图模型来分析。
本课程的主要内容
图的基本概念 路与回路 欧拉图与汉密尔顿图 树与生成树 图的表示 平面图 图的着色 支配集、覆盖集、独立集与匹配 带权图及其应用
举例
例如 下面的四个图。
v1
v2 v4
v3
结点的度(degree)
度dG (v): v 作为G中边的端点的次数之和 出度dD+(v): v作为边始点的次数之和 入度dD -(v): v作为边终点的次数之和 度dD(v) = dD+(v) + dD-(v) 注意：环对于结点度的贡献是2
对于任意有向图D 后继: D (v) {u | u V (D) v, u E(D) u v} 前驱: D (v) {u | u V (D) u, v E(D) u v} 邻域: ND(v)=ΓD+(v)∪ΓD-(v) 闭邻域: D (v) N D (v) {v}
简单图(Simple graph), 正则图
简单图(simple graph): 无环,无平行边 G是简单图, 则 0 ≤ Δ(G) ≤ n-1 k-正则图(regular graph): ∀v, d(v)≡k n阶完全图: n阶简单图,
无向完全图Kn , ∀v, d(v)=n-1; 有向完全图，∀v,d(v)=2(n-1);
7.2 7.3 7.5 主要内容
通路, 回路, 路径, 圈, 周长, 围长 极大通路法 无向图的连通性 二部图 有向图的连通性
预备知识
有序积: A×B={ <x, y> | x∈A∧y∈B} 有序对: <x, y>≠<y, x>
无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x, y)=(y, x)
L1
L9
L2
L8
L3
L7 L6
L4 L5

L1 L2 L3
L9 L8
L7
L9 L8 L7 L6
L4 L5 L1 L2 L3 L4 L5
实际问题—图模型
上述例子都涉及一个集合 (1) 3字母单词集， (2) 路 口的车道集合。在每个集合中，若干对元素之间都 以某种方式互相联系，(1) 两个单词可以通过某种 规则互相变换，(2)某几对车道上的车辆不能同时通 过路口。
例: d = ( 5, 1, 2, 3, 3 )
v1
v2
v5
v3
v4
可图化,可简单图化
可图化:设非负整数列 d=( d1,d2, …, dn ), 若存在图G, 使得G的度数列是d, 则称d为可图化的
可简单图化:设非负整数列d=( d1,d2, …, dn ), 若存在 简单图G, 使得G的度数列是d, 则称d可简单图化.
推论的证明
推论 在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。
证明 设G=<V, E> 为任意图，令
V1 = { v | vV ∧ d(v)为奇数}
V2 = { v | vV ∧ d(v)为偶数}
则V1∪V2=V, V1∩V2=，由握手定理可知
2m d(v) d(v) d(v)
多重集: {a, a, a, b, b, c}≠{a, b, c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1
图的定义
定义 一个图是一个三元组<V(G), E(G), G>，其中 V(G)是一个非空的结点集合， E(G)是边集合， G 是从边集合到结点无序偶（有序偶）集合上的函 数。
是邻接的。这样的图称为词集的单词图。
BIT BAD
BUT BAT
CAT
BAR
HAT
单词图
实例(2) 交通车道
在两个繁忙街道交叉口的交通车道，当一个车辆到达 这个路口时，它会在9个车道的一个车道出现，这9 个车道分别记为 L1，L2，…，L9
L9ห้องสมุดไป่ตู้L8
L7
L1
L6
L2
L3
L4 L5
在路口的信号灯告知不同车道上的司机何时可以通过 这个路口。某些处于不同车道上的车辆不能同时进 入路口，如L1和L9， 而L1 与L5上的车辆可以同时 穿过路口，这种情形可以用图G表示。当两个车道 上的车辆不能同时进入路口时，则在这两个顶点（ 对应于上述车道）之间连接一条边 。
悬挂顶点的度为1 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 孤立顶点的度为0
最大(出/入)度,最小(出/入)度
最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } 简记为Δ, δ, Δ+, δ+, Δ-, δ-
a
e1 b
e6 e2 e3
e4
e5
c
V(G)={a,b,c,d}
E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6}
：E(G) →V＆V d (e1)=(a,b), (e2)=(a,c)
(e3)=(b,d), (e4)=(b,c) (e5)=(c,d), (e6)=(a,d)
vV
vV1
vV2
显然 d(v) 是偶数，而2m也是偶数，
vV2
所以 d(v) 也为偶数， 由于V1为奇数度顶点集， vV1
所以|V1|必为偶数.
握手定理的应用(1)
例 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数 均不大于2, 问G至少有多少个顶点?
解 设G有n个顶点. 由握手定理, 43+2(n-4) ≥210
图论
中国海洋大学 计算机系
引言
1736年，欧拉（Euler）在他的一篇论文中讨论了 哥尼斯堡七桥问题，由此诞生了一个全新的数学分 支-----图论 (Graph Theory).
经历了200多年的发展，图论已经发展成一个理论与 应用兼有的研究领域。经典图论, 代数图论, 拓扑图 论, 随机图论, 谱图理论, 化学图论, 以及在计算机和 模式识别等领域有很高的应用价值。
(1) V≠∅, 顶点,结点(vertex / node)
(u, v)
(2) 多重集E⊆V&V, 边(edge / link)
u
v
例: G=<V,E>, V={v1, v2, v3, v4, v5, v6},
E={(v1,v1), (v1,v2), (v1,v5), (v2,v5), (v2,v3), (v2,v3), (v4,v5)}
握手定理(图论基本定理)
定理1 每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。
定理2
deg(v) 2 | E |
vV
D=<V, E>是有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
n
d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
推论 在任何图中，奇数度顶点的个数是偶数。
图的度数举例
4
4
d(v1)＝4(注意，环提供2度)，
△＝4，δ＝1，
2 v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
3
1
2
3
4
2
2
图的度数举例
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)， d(a)＝4+1＝5 △＝5， δ＝3， △+＝4 (在a点达到) δ+＝0 (在b点达到) △-＝3 (在b点达到) δ-＝1 (在a和c点达到)
图论的应用
如何布线能使每一部电话都互相连通，并且花费最小？ n项任务怎样最有效的由n个人完成？ 管道网络中从源点到汇点的单位时间最大流是多少？ 一个计算机芯片需要多少层才能使得同一层的线路互不
相交？ 一个推销员能够使旅行的城市不重复，再回起点吗？能
不重复的通过不同的道路，再回到起点吗？要以怎样的 顺序到达每一个城市, 才能使得旅行时间最短？ 我们能用4种颜色为地图的各区域着色，使相邻区域的 颜色不同吗？
v6
有向图(directed graph)
有向图(digraph): D=<V,E>, (1) V≠∅, 顶点,结点(vertex / node) (2) 多重集E⊆V×V, 边(edge / link / arc)
<u,v>
u(起点)
v(终点)
例: D=<V,E>, V={a,b,c,d,e},