线性定常连续系统状态方程的解

线性定常连续系统状态方程的解

求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定 量分析的主要方法。 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩 阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态 转移矩阵这一基本概念。 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动 态演变)等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深 入理解。

a2 2 ak k x(t ) 1 at t ... t ... x(0) e at x(0) 2! k!

上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状 态方程的解。 为此,设其解为t的向量幂级数,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+… 式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。 将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得 q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2 +…+qktk+…)
3) [Φ(t2-t1)]-1=Φ(t1-t2)
e
A(t 2 t1 ) 1

e A(t 2 t1 ) e A(t1 t 2 )
4) 对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时才成立 e(A+B)t=eAteBt 5) 6)
d At e Ae At e At A, (t ) A(t ) (t ) A dt
因此, 状态x(t)的解可写为 A2 2 Ak k x (t ) I At t ... t ... x0 2! k!
该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所 以称为矩阵指数函数,且记为
A2 2 Ak k e At I At t ... t ... 2! k!
1
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[( sI A) 1 ] 1 1 1 2 s 1 s 2 1 s 1 s 2 L 2 2 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 2e t e 2t e t e 2 t 2e t 2e 2t e t 2e 2t
I A A2 Ak 1 ( sI A) 2 3 ... k ... s s s s A2t 2 Ak t k e At I At ... ... 2! k! 其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有
1
I A A2 Ak 1 1 1 1 L [( sI A) ] L 2 3 ... k ... s s s s A2t 2 Ak t k I At ... ... 2! k! e At
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。

因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得
a q1 q0 , 1! a a2 q2 q1 q0 , 2 2! a ak , qk qk 1 q0 k k!
令x(t)的解表达式中t=0,可确定 q0=x(0) 因此, x(t)的解表达式可写为

对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0, 对方程两边取拉氏变换,可得
sX(s)-x0=AX(s) 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为 X(s)=(sI-A)-1x0
对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。

由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状 态转移矩阵) 1) Φ(0)=eA0=I
2) eA(t+s)=eAteAs ， Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s)
式中t和s为两个独立的标量自变量
证明 由指数矩阵函数的展开式,有
e At e As A2 2 Ak k A2 2 Ak k I At t ... t ... I As s ... s ... 2! k! 2! k! A2 2 Ak 2 I A(t s) (t 2ts s ) ... (t s ) k ... 2! k! e A( t s )
x(t2 ) e A(t2 t1 ) x(t1 ) e A(t2 t0 ) x(t0 )
而
x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)
t0
t1
t2
t
系统的状态转移
因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态 转移等效为一步状态转移,如图所示。
状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特 A(t t0 ) 性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 e 和初始状态x(t0) 所决定。

为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续 系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此,有如下关系式 (t-t0 ) e A(t t0 ) x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态 转移矩阵有如下关系 (t)=L-1[(sI-A)-1]

对标量函数,我们有
( s a)
1
e at
1 a a2 a k 1 2 3 ... ... k s s s s a 2t 2 ak t k 1 at ... ... L1[( s a ) 1 ] 2! k!
将上述关系式推广到矩阵函数则有

在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线 性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移 矩阵等概念。 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项 (u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力 作用下的自由(自治)运动。 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性。 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。
[Φ(t)]n=Φ(nt)
7)
8)
Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
e
Aτ t
e
At

τ

由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)
x(t0 )
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 )
线性定常齐次状态方程的解

什么是微分方程的齐次方程? 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的 解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的方程 x’=Ax 齐次状态方程满足初始状态
x (t ) t t x (t0 )
0
的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动。
齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。
x x0 1
0
x(t)=(t)x0
由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始时 刻的初始状态到t时刻的状态 的转移刻划的,如图3-1所示。
x2
x ( 0)
x ( t1 )
(t) t
图3-1 状态转移特性
x ( t2 )
t
t2
s 3 1 adj(sI A) 1 ( sI A) sI A (s 1)(s 2) 2 s 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 2 2 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2
的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。

这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。 引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移矩 阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等, 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述， 更好地刻划系统状态运动变化的规律。
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
(3) 状态方程的解为
4et 3e2t x (t ) e At x0 4et 6e2t
线性定常连续系统的状态转移矩阵

下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义

定义 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0时,满足 如下矩阵微分方程和初始条件: ’(t)=A(t), (t)|t=0=I

例 求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。
如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。

因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得
A A2 q2 q1 q0 , 2 2! A Ak , qk qk 1 q0 k k!
A q1 q0 , 1!
若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定
q0=x(0)=x0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
t1
( t1 0)
( t2 t1 )
当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。

例试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 1 x x x0 2 2 3 解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为 sI A s 2 3s 2 (s 1)(s 2)

对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有 级数展开法 拉氏变换法
1. 级数展开法

在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程
x(t ) ax(t )
在初始时刻t0=0的解。 该方程中x(t)为标量变量,a为常数。

由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有

因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为 x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0 上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结 果一致。 若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则 可得解的另一种表述形式:
x(t ) e A(t t0 ) x(t0 )

利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：
x(t)=eAtx0
2．拉氏变换法

若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数, 定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数 和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏 变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。