3.4 线性定常离散系统状态方程的解

i i
1 k 1 ik C k i 1 1 Gik , 1 k 1 C k i k i
其中 : Ckm
k! m!(k m)!
(k mi )
递推法(10/10)
(4) 对系统矩阵G, 当存在线性变换矩阵P, 使得
试求系统状态在输入u(k) 1时的响应
1 x(0) 1
Z变换法(4/7)
解 1. 用递推法求解 分别令k 1, 2, 3, …, 则由状态方程有
0 x(1) 0.16 0 x(2) 0.16 0 x(3) 0.16
Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1 /(1 az 1 ) a k Z {W1 ( z )W2 ( z )} w1 (k i ) w2 (i )
1 i 0 k


其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数, 则可得
Ch.3 线性系统的时域分析
线性定常离散系统状态方程的解(1/1)
3.4 线性定常离散系统状态方程的解
线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法 两种主要方法:
Z变换法只能适用于线性定常离散系统, 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 下面将只讨论 线性定常离散系统
的状态空间模型求解。
G diag{1 2 … n}
则状态转移矩阵为
k Φ(k ) G k diag 1

k k ... 2 n
(2) 块对角矩阵 当G为如下块对角矩阵: G block-diag{G1 G2 … Gl}
其中Gi为mimi维的分块矩阵, 则状态转移矩阵为
k Φ(k ) G k block - diag G1k G2 Glk
另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应, 与 初始时刻的状态值无关, 称为系统状态的零状态响 应 2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后, 线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致, 都由 零输入响应和零状态响应叠加组成 只是相应的零状态响应在形式上略有不同, 一为求 积分(卷积), 一为求和(离散卷积), 但本质是一致的
~ G P 1GP
则有
~k G P 1G k P
~ k 1 G PG P
k
Z变换法(1/7)
3.5.2 Z变换法
已知线性定常离散系统的状态方程为 x(k1) Gx(k) Hu(k) 对上式两边求Z变换,可得 zX(z)zx(0) GX(z) HU(z) 于是 (zIG)X(z) zx(0) HU(z) 用(zIG)1左乘上式的两边,有 X(z) (zIG)1zx(0) (zIG)1HU(z) 对上式进行Z反变换,有 x(k) Z1[(zIG)1zx(0)] Z1[(zIG)1HU(z)]


递推法(9/10)
(3) 约旦块矩阵 当Gi为特征值为i的mimi维约旦块, 则Gi的 矩阵指数函数为
1 k 1 ik C k i k Gi
C km 1ik m 1 , (k mi ) 1 k 1ห้องสมุดไป่ตู้C k i ik
递推法(1/10)
3.5.1 递推法
递推法亦称迭代法
用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k1) Gx(k) Hu(k)
时, 只需在状态方程中依次令k 0,1,2,…,从而有 x(1) Gx(0) Hu(0) x(2) Gx(1) Hu(1) G2x(0) GHu(0) Hu(1) ……
j 0 k 1
上述递推计算公式中的第2项为离散卷积, 因此有如下另 一形式的线性离散系统状态方程的解表达式
x(k ) G k x(0) G k 1 Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k - 1) G x(0) G j Hu(k j 1)
k j 0 k 1
递推法(3/10)
若初始时刻k0不为0, 则上述状态方程的解可表达为:
x( k ) G
或
k k0
x(k0 ) G k j 1 Hu( j )
j k0 k k 0 1 j 0
k 1
x( k ) G k k 0 x( k 0 )
递推法(7/10)
3. 在由输入所引起的状态响应中, 第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值, 而与该时刻的输入采 样值u(k)无关
这即为计算机控制系统固有的一步时滞
递推法(8/10)
下面讨论几种特殊形式的系统矩阵G的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵 当G为如下对角线矩阵:
j G Hu(k j 1)
递推法(4/10)
与连续系统状态方程求解类似, 对线性离散系统的状态方程 求解, 亦可引入状态转移矩阵
(k) Gk
因此, 可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:
x(k ) Φ(k )x(0) Φ(k j 1) Hu( j )
1 1 1 0 1 1 1 1.84 1 0 1 2.84 1 1.84 1 0.84 1 2.84 1 0.16 1 0.84 1 1.386
Z变换法(6/7)
由Z变换, 有 u(k) 1 U(z) z/(z1) 因此, 有 X(z) (zIG)1[zx(0) HU(z)]
( z 2 2) z 44 25 51 z z 0.2 z 0.8 z 1 ( z 0 . 2 )( z 0 . 8 )( z 1 ) 2 ( z 1.84 z ) z 18 10.2 35.2 7 ( z 0.2)( z 0.8)( z 1) z 0.2 z 0.8 z 1
j 0 k 1
x(k ) Φ(k )x(0) Φ( j ) Hu(k j 1)
j 0
k 1
递推法(5/10)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: 连续系统
x(t ) (t )x 0
t
(t )Bu( )d
0
离散系统
x(k ) Φ(k )x(0)
k 1
CG k x(0) j 0 CG j Hu(k j 1) Du(k )
k 1
或:
y (k ) CΦ(k )x(0) j 0 CΦ(k j 1) Hu( j ) Du(k )
k 1
CΦ(k )x(0) j 0 CΦ( j ) Hu(k j 1) Du(k )
0 1.84,
2.84 0.84,
0.16 1.386
输出方程的解(1/1)
3.5.3 输出方程的解
将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k) Cx(k) Du(k) 中, 可得输出y(k)的解为
y (k ) CG k x(0) j 0 CG k j 1 Hu( j ) Du(k )




Z变换法(3/7)
因此, 离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
该表达式与前面递推法求解结果一致 例3-9 已知某系统的状态方程和初始状态分别为
1 0 1 x(k 1) x( k ) u ( k ) 0.16 1 1
Z变换法(7/7)
1 51(0.2) k 44(0.8) k 25 x(k ) Z { X ( z )} 18 10.2(0.2) k 35.2(0.8) k 7
1
令k 0, 1, 2, 3代入上式, 可得
1 x( k ) , 1
试求u(k), 使系统能在第2个采样时刻转移到原点.
k 1
习题
习题
3-3 试求下列状态方程的离散化方程(采样周期T 1s)
0 x 4 1 0 x u 0 2
3-4 已知离散系统的状态方程和初态:
1 0.5 0.3 1 x(k 1) x(k ) u (k ), x(0) , 0 0.1 0.4 1
Φ(k - j - 1)Hu( j)
j 0
k 1
初始状态 的影响
初始时刻后 输入的影响
递推法(6/10)
对上述离散系统状态方程的求解公式, 有如下几点说明: 1. 与连续系统类似, 离散系统状态响应也由两部分组成
一部分为由初始状态引起的响应, 与初始时刻后的 输入无关, 称为系统状态的零输入响应
递推法(2/10)
若给出初始状态x(0), 即可递推算出x(1), x(2), x(3), …, 重复以上步骤, 可以得到如下线性离散系统状态方程的 递推求解公式:
x(k ) G k x(0) G k 1 Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k - 1) G k x(0) G k j 1 Hu( j )
Z 1 ( zI G ) 1 z Z 1 ( I Gz 1 ) 1 G k Z 1{( zI G ) 1 HU ( z )} Z 1{z 1 ( zI G ) 1 zHU ( z )}
( k 1) j 0 ( k 1) j G Hu( j )
类似地, 可继续递推下去, 直到求出所需要的时刻的解为止 2. 用Z变换法求解 先计算(zIG)1
zI G
z 0.16
1 z 1
( z 0.2)( z 0.8)
Z变换法(5/7)
( zI G )
1
z 1 1 adj( zI G ) 1 | zI G | ( z 0.2)( z 0.8) 0.16 z 1 5 5 4 1 z 0.2 z 0.8 z 0.2 z 0.8 1 4 3 0.8 0.8 z 0.2 z 0.8 z 0.2 z 0.8