2020年高考物理总复习专题突破(六) 弹性碰撞和完全非弹性碰撞

专题突破(六) 弹性碰撞和完全非弹性碰撞 【p 108】

一、弹性碰撞 碰撞时，内力是弹性力，只发生机械能的转移，系统内无机械能损失，叫做弹性碰撞．若质量分别为m 1、m 2，速度分别为v 1、v 2的两个物体在水平面上发生弹性碰撞，依动量守恒且碰撞前后的总动能相等，

有：m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1′＋m 2v 2′……(1) 12m 1v 21＋12m 2v 22＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2……(2) 解(1)(2)得：v 1′＝（m 1－m 2）v 1＋2m 2v 2m 1＋m 2，

v 2′＝

（m 2－m 1）v 2＋2m 1v 1

m 1＋m 2

讨论：

(1)若m 1＝m 2，则有v 1′＝v 2，v 2′＝v 1，即碰后彼此交换速度，实现动量和动能的交换；

(2)若碰前m 2是静止的，即v 2＝0.

①m 1>m 2，则v 1′>0，v 2′>0，碰后两者同向运动；

②m 10，碰后，m 1反向弹回，m 2沿m 1碰前的速度方向运动； ③m 1m 2，则v 1′≈－v 1，v 2′≈0，即质量很小的物体以原速率反弹，质量很大的物体仍然静止．

④m 2m 1，则v 1′≈v 1，v 2′≈2v 1，即质量很大的运动物体碰后速度几乎不变，而质量很小的静止物体会以2倍运动物体的初速度沿同一方向运动．

二、完全非弹性碰撞 发生完全非弹性碰撞时，内力是完全非弹性力，碰后两物体粘连在一起或者虽未粘连但以相同的速度运动．这种碰撞，只有动量守恒，机械能损失最大，损失的机械能转化为内能．

有：m 1v 1＋m 2v 2＝(m 1＋m 2)v ，

ΔE ＝12m 1v 21＋12m 2v 22－12

(m 1＋m 2)v 2

.

例1如图所示，光滑水平地面上静止放置两个由弹簧相连的木块A 和B ，一质量为m 的子弹，以速度v 0水平击中木块A ，并留在其中，A 的质量为3m ，B 的质量为4m.

(1)求弹簧第一次最短时的弹性势能；

(2)何时B 的速度最大，最大速度是多少？

【解析】(1)从子弹击中木块A 到弹簧第一次达到最短的过程可分为两个小过程：一是子弹与木块A 的碰撞过程，动量守恒，有机械能损失；二是子弹与木块A 组成的整体与木

块B 通过弹簧相互作用的过程，动量守恒，系统机械能守恒．子弹打入：mv 0＝4mv 1

打入后弹簧由原长到最短：4mv 1＝8mv 2 由机械能守恒有：12×4mv 21＝12×8mv 2

2＋E p 解得E p ＝116mv 20

.

(2)从弹簧原长到被压缩至最短再恢复原长的过程中，木块B 一直做变加速运动，木块A 一直做变减速运动，相当于弹性碰撞，因质量相等，子弹和A 组成的整体与木块B 交换速度，此时B 的速度最大．设弹簧弹开时A 、B 的速度分别为v 1′，v 2′，有

4mv 1＝4mv 1′＋4mv 2′

12×4mv 21＝12×4mv 1′2＋12×4mv 2′2 解得：v 1′＝0，v 2′＝v 1＝v 04

.

【小结】子弹射入A 的过程，是完全非弹性碰撞过程，只有动量守恒．子弹和木块一起压缩弹簧到三者具有相同速度时，弹簧第一次最短，此过程也是完全非弹性碰撞过程，动量守恒，系统动能损失最多，损失的动能转化为弹簧的弹性势能．从开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复到原长时，三者之间的作用又可视为弹性碰撞过程，动量守恒，总动能不变．

例2如图所示，水平地面上有两个静止的小物块a 和b ，其连线与墙垂直；a 和b 相距l ，b 与墙之间也相距l ；a 的质量为m ，b 的质量为3

4m.两物块与地面间的动摩擦因数均相同．现

使a 以初速度v 0向右滑动．此后a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．

【解析】设物块与地面间的动摩擦因数为μ.若要物块a 、b 能够发生碰撞，应有 12mv 2

>μmgl ① 即μ

2gl

②

设在a 、b 发生弹性碰撞前的瞬间，a 的速度大小为v 1.由能量守恒有

12mv 20＝12mv 2

1

＋μmgl ③ 设在a 、b 碰撞后的瞬间，a 、b 的速度大小分别为v 1′、v 2′，由动量守恒和能量守恒有 mv 1＝mv 1′＋3

4mv 2′ ④

12mv 21＝12mv 1′2＋12⎝⎛⎭⎫34m v 2′2

⑤ 联立④⑤式解得v 2′＝8

7v 1 ⑥

由题意知，b 没有与墙发生碰撞， 由功能关系可知12⎝⎛⎭⎫34m v 2′2≤μ3

4mgl ⑦ 联立③⑥⑦式，可得μ≥32v 20

113gl

⑧

联立②⑧式，a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞的条件32v 20113gl ≤μ

2gl

⑨

针对训练

1．在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A 、B ，质量都为m ，B 球静止，A 球向B

球运动，发生正碰．已知碰撞过程中机械能守恒，两球压缩最紧时弹性势能为E p ，则碰前A

球的速度为． 【解析】设碰前A 球速度为v 0，根据动量守恒定律有mv 0＝2mv ，则压缩最紧(A 、B 有相同速度)时的速度v ＝v 02，由系统机械能守恒有12mv 20＝12

×2m ×⎝⎛⎭⎫v 022＋E p ，解得v 0＝2

E p

m

.

2．如图所示，光滑轨道的下端离地0.8 m ，质量为m 的A 球从轨道上端无初速释放，到下端时与质量也为m 的B 球正碰，B 球碰后做平抛运动，落地点与抛出点的水平距离为0.8 m ，求A 球释放的高度h 的范围．(g ＝10 m/s 2)

【解析】B 球做平抛运动，有x ＝v B ′t ， y ＝12gt 2 得v B ′＝x

t

＝x

g

2y

＝0.810

2×0.8

m/s ＝2 m/s