一元二次方程专题能力培优(含答案)
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第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程
专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1.已知2
(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( )
A.m ≠3
B.m ≥3
C.m ≥-2
D. m ≥-2且m ≠3
2. 已知关于x 的方程2
1
(1)(2)10m
m x m x +++--=,问:
(1)m 取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程; (2)m 取何值时,它是一元一次方程?
专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值
3.关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2
-1=0的常数项为0,求m 的值.
4.若一元二次方程2
(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项,则a 的值为 .
专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
5.已知关于x 的方程x 2
+bx+a=0的一个根是-a (a≠0),则a-b 值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2
6.若一元二次方程ax 2
+bx+c=0中,a -b+c=0,则此方程必有一个根为 .
7.已知实数a 是一元二次方程x 2
-2013x+1=0的解,求代数式22
1
20122013
a a a +--的值.
知识要点:
1.只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次),等号两边都是整式的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2
是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项.
3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,又叫一元二次方程的根.
温馨提示:
1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.
2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.
方法技巧:
1.ax k
+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种,需要分类讨论.
2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想,需要同学们认真领
会. 答案:
1. D 解析:
30
20
m
m
-≠
⎧
⎨
+≥
⎩
,解得m≥-2且m≠3
2.解:(1)当
212,
10
m
m
⎧+=
⎨
+≠
⎩
时,它是一元二次方程.解得:m=1.
当m=1时,原方程可化为2x2-x-1=0;
(2)当
20,
10
m
m
-≠
⎧
⎨
+=
⎩
或者当m+1+(m-2)≠0且m2+1=1时,它是一元一次方程.
解得:m=-1,m=0.
故当m=-1或0时,为一元一次方程.
3.解:由题意,得:
210,
10.
m
m
⎧-=
⎨
-≠
⎩
解得:m=-1.
4.a=-2 解析:由题意得
360,
240.
a
a
+=
⎧
⎨
-≠
⎩
解得a=-2.
5. A 解析:∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(a≠0),∴a2-ab+a=0.∴a(a-b+1)=0.∵a≠0,∴1-b+a=0.∴a-b=-1.
6.x=-1 解析:比较两个式子
会发现:(1)等号右边相同;(2)等号左边最后一项相同;(3)第一个式子x2对应了第二
个式子中的1,第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故
21
1
x
x
⎧=
⎨
=-
⎩
.解得x=-1.
7.解:∵实数a是一元二次方程x2-2013x+1=0的解,∴a2-2013a+1=0. ∴a2+1=2013a,a2-2013a=-1.
∴
2.2 一元二次方程的解法
专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值
1.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式;则k的值为()A.-9或11 B.-7或8 C.-8或9 C.-8或9
2.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式,则m= .
3.用配方法证明:无论x为何实数,代数式-2x2+4x-5的值恒小于零.
专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围
4.已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是()
A.没有实数根
B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根,则k的取值范围是()
6.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是()
A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c
专题三解绝对值方程和高次方程
7.若方程(x2+y2-5)2=64,则x2+y2= .
8.阅读题例,解答下题:
例:解方程x2-|x-1|-1=0.
解:(1)当x-1≥0,即x≥1时,x2-(x-1)-1=0,∴x2-x=0.
解得:x1=0(不合题设,舍去),x2=1.
(2)当x-1<0,即x<1时,x2+(x-1)-1=0,∴x2+x-2=0.
解得x1=1(不合题设,舍去),x2=-2.
综上所述,原方程的解是x=1或x=-2.
依照上例解法,解方程x2+2|x+2|-4=0.