一元二次方程专题能力培优(含答案)

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第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程

专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值

1.已知2

(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( )

A.m ≠3

B.m ≥3

C.m ≥-2

D. m ≥-2且m ≠3

2. 已知关于x 的方程2

1

(1)(2)10m

m x m x +++--=,问:

(1)m 取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程; (2)m 取何值时,它是一元一次方程?

专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值

3.关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2

-1=0的常数项为0,求m 的值.

4.若一元二次方程2

(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项,则a 的值为 .

专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式

5.已知关于x 的方程x 2

+bx+a=0的一个根是-a (a≠0),则a-b 值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2

6.若一元二次方程ax 2

+bx+c=0中,a -b+c=0,则此方程必有一个根为 .

7.已知实数a 是一元二次方程x 2

-2013x+1=0的解,求代数式22

1

20122013

a a a +--的值.

知识要点:

1.只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次),等号两边都是整式的方程,叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2

是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项.

3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,又叫一元二次方程的根.

温馨提示:

1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.

2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.

方法技巧:

1.ax k

+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种,需要分类讨论.

2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想,需要同学们认真领

会. 答案:

1. D 解析:

30

20

m

m

-≠

+≥

,解得m≥-2且m≠3

2.解:(1)当

212,

10

m

m

⎧+=

+≠

时,它是一元二次方程.解得:m=1.

当m=1时,原方程可化为2x2-x-1=0;

(2)当

20,

10

m

m

-≠

+=

或者当m+1+(m-2)≠0且m2+1=1时,它是一元一次方程.

解得:m=-1,m=0.

故当m=-1或0时,为一元一次方程.

3.解:由题意,得:

210,

10.

m

m

⎧-=

-≠

解得:m=-1.

4.a=-2 解析:由题意得

360,

240.

a

a

+=

-≠

解得a=-2.

5. A 解析:∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(a≠0),∴a2-ab+a=0.∴a(a-b+1)=0.∵a≠0,∴1-b+a=0.∴a-b=-1.

6.x=-1 解析:比较两个式子

会发现:(1)等号右边相同;(2)等号左边最后一项相同;(3)第一个式子x2对应了第二

个式子中的1,第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故

21

1

x

x

⎧=

=-

.解得x=-1.

7.解:∵实数a是一元二次方程x2-2013x+1=0的解,∴a2-2013a+1=0. ∴a2+1=2013a,a2-2013a=-1.

2.2 一元二次方程的解法

专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值

1.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式;则k的值为()A.-9或11 B.-7或8 C.-8或9 C.-8或9

2.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式,则m= .

3.用配方法证明:无论x为何实数,代数式-2x2+4x-5的值恒小于零.

专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围

4.已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是()

A.没有实数根

B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根,则k的取值范围是()

6.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是()

A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c

专题三解绝对值方程和高次方程

7.若方程(x2+y2-5)2=64,则x2+y2= .

8.阅读题例,解答下题:

例:解方程x2-|x-1|-1=0.

解:(1)当x-1≥0,即x≥1时,x2-(x-1)-1=0,∴x2-x=0.

解得:x1=0(不合题设,舍去),x2=1.

(2)当x-1<0,即x<1时,x2+(x-1)-1=0,∴x2+x-2=0.

解得x1=1(不合题设,舍去),x2=-2.

综上所述,原方程的解是x=1或x=-2.

依照上例解法,解方程x2+2|x+2|-4=0.

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