山东大学数学学院2109年泛函分析期末试题

16级泛函分析
出题人:张晓燕编辑:胡不归
一、 1.叙述开映射定理和闭图像定理,并证明闭图像定理.
2.M是Banach空间X中的有界闭凸集,A:M→M满足对任意x,y∈M,
||Ax−Ay|| ||x−y||
求证:对任意ε>0,存在xε∈M,使得
||Axε−xε|| ε
3.叙述自然嵌入的定义,并证明自然嵌入映射是范数的.
二、 1.叙述Riesz引理,并利用它证明:若赋范线性空间E中任意有界集都是列紧集,则E是有限维的.
2.求(R n,||·||)的共轭空间,其中||x||=max
1 i n |ξi|,x=(ξi)n
i=1
.
3.叙述Hilbert空间中的Riesz表示定理,并用它证明:f是Hilbert空间H的子空间H0上的有界线性泛
函,则f在H上存在唯一的保范延拓.
三、 1.T是Banach空间X上的幂等算子,即T∈B(X),且T2=T.求证:σ(T)={0,1}.
2.X,Y是赋范线性空间,若X={0},B(X,Y)是Banach空间,则Y是Banach空间.
3.X,Y是赋范线性空间,A:X→Y是全连续线性算子.求证:A将X中的弱收敛序列映为Y中收敛列.。