函数的极值和最值及其应用

函数的极值和最值及其应用

函数极值的定义

设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。

若函数f 在点0x 处可导，且0x 为f 的极值点，则()00f x '=.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是()00f x '=.

函数最值的定义

设函数()f x 在X 区间上有定义，如果存在一点0x X ∈，使得()0f x 不小于其他所有的()f x ，亦即 ()()0,f x f x x X ≥∈ ，

则称()0f x 是在X 上的最大值，又可记为 ()(){}0max f x f x = ；

同样使得()0f x 不大于其他所有的()f x ，亦即 ()(),o f x f x x X ≤∈ ，

则称()0f x 是在X 上的最小值，又可记为 ()(){}0min f x f x = .

注意：函数()f x 在X 上未必一定有最大（小）值。

最值和极值的联系与区别

（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；

（2）极值未必是最值；

（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。

函数极值、最值的求解方法

1、降元法

求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。

例1：已知2x y +=

，求函数z =的极值。

解：由题设得2y x =-

z ==()2280x -++

≥

22x ∴--≤≤-+

即函数的定义域为：22⎡---+⎣

当2x =

-时，max z

= 当2x =-+min 0z =

2、转化法

在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。 例

2

.

解：设

y =+

令1255,5z x i z x i =-+=+

则：1212510y z z z z i =+≥+=+

=min y ∴=

例3：求函数1sin 2cos x y x

-=-的极值 解：原函数化为：2cos 1sin y y x x -=-

21sin cos y x y x -=

+ ()x ϕ=+ ，其中tan y

ϕ=

21y ∴-≤403y ≤≤

min max 40,3

y y ∴== 3、换元法 换元法是把问题进行转化的一种常用方法。

例4：已知2221x y +=，求34z x y =-的极值.

解：2

222

21,112y x y x +=∴+=

令)

()cos ,/202x y θθθπ==<≤

则()3cos z θθθϕ=-=+（其中tan 3

ϕ=） ()

cos 1θϕ+≤ min max z z z ∴≤==例5：求函数2sin 3sin 1y x x =-+的极值

分析：本例可通过辅助元sin T x =把所给函数化为二次函数：

231y T T =-+ ，

即把上述极值问题转化为抛物线231y T T =-+在[]1,1-范围内求最高点和最低点的问题。此处不予以细致解答。

4、判别式法

若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。

例6：已知,x y 满足22260x xy y -+--+=，求z x y =+的最小值.

解：由z x y =+得y z x =-代人约束条件并以x 为主元整理得：

()

224460x zx z -+-+=

()

22,161660x R z z ∈∴∆=--+≥解得: z ≥（1）

当且仅当x ==1）式取等号。

由,x y 的对称性知当x y ==时， min z =或求函数12334622+-+-=x x x x y 的最大值2

72≤≤y 5、不等式法

例7：已知,x y 满足22421690x y x y +-++=，求函数2z x y =+ 的极值。

解：由已知式配方得： ()()221428x y -++= （1）

()()()()22

14221*22x y x y -++≥-+

()()21*228x y ∴-+≤ （2）

()()12+ 得()()212216x y -++≤⎡⎤⎣⎦解得721,x y -≤+≤min max 7, 1.z z ∴=-=

其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题.本文就此不做具体展示。

6、几何法

例如：已知920750x y -+=，求函数(

)()222244z x y x y =+++-+的最小值。 解：本题的几何意义是在直线920750x y -+=上求一点Q ，使得Q 到点()()4,0,4,0-的距离之和为最小。如图：

设：点12,P P 坐标为()()4,0,4,0-，直线l 的方程为920750x y -+=。由几何光学原理知当点光源从1P 射出后，经镜面l 反射到点2P 。这时122PQ P Q MP +=

就是所求的最小值。

设点2P 关于光线l 的对称点为()11,M x y ，于是min 1

22Z PQ P Q MP =+= ，由 11120,494915*220

24y x y x ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩解得11202120,3737x y =-=min 2222021204103737z MP ∴=⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7、导数法

闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于()0f x '=的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间[a ，b]上的最值可分以下