《固体物理-徐智谋》非简谐振动

1 3
CV
v
A
e T,
CV T 3 ,
T
3e
A T
,
T 0,
实际上热导系数并不会趋向无穷大。
因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整
的晶体， D (D为晶体线度)。
低温时：
T3
完整晶体当温度趋向零度时，热导率是多少？
第三章 晶格振动 总结
❖一维晶格振动 ❖三维晶格振动、声子 ❖长波近似 ❖确定晶格振动谱的实验方法 ❖晶体比热 ❖晶体的非简谐效应
2.频率分布函数
定义： 计算：
( )
lim
0
n
3n
1
Vc
2π3
ds
s q q
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型 (1)晶体中原子的振动是相互独立的；
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视为弹性波；
(2)所有原子都具有同一频率；
(2)有一支纵波两支横波；
(3)设晶体由N个原子组成,共有3N个频 率为的振动。
0
x
e2n ax2
dx
1
3
5 (2n 2n1 a n
1)
π a
(n 2,a 1)
e d (c 2 g 3 ) kBT
e e d c 2 / kBT g 3 / kBT
ec 2 kBT (1 g 3 )d
kBT
2 e d c 2 kBT 0
2
1
πkBT
1
/
2
一维晶格振动
格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的 相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。
振动很微弱时，势能展式中只保留到(r)2项,3次方以上的高次项均忽略掉的近 似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项的近似)。
f nk
d2u dr 2
r0
xnk
nk xnk
e d u kBT
U ( R0
)
U ( R0
)
21!
2U R2
R0
2
1 3!
3U R3
R0
3
取U (R0 ) 0,
令
1 2!
2U R 2
R0
c,
1 3!
3U R 3
R0
g
U(R0 ) c 2 g 3 (c、g均为正常数。)
(1)简谐近似：
U( R0 ) c 2
eu kBT d
N是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，m是维数。
q , 声子：晶格振动的能量量子。能量为
准动量为 。
3nN个振动模式
3nN声子
3N声学声子， (3n-3)N光学声子。
长波近似
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。 1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12
E
P b21W b22E
(2) 试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率 max 的意义。
2，解释晶格振动热容理论时，爱因斯坦模型与德拜模型最大的区别在哪里？ 在高温极限和低温极限时，它们的热容表达式是什么样的？
3，简述黄昆方程及其物理意义
v
1 3
CV
v
CV单位体积热容， ---声子自由程， 固体中声速)。
声子平均速度(常取
2.讨论与T的关系
vv 基本与温度无关，Cv和与温度密切相关
1)高温时，T>>D
CV 3NkB
n
1
e kBT 1
1
kBT
1
kBT
1
T n
1
T
1
T
(2)低温时，T<<D
n
1
e
kBT
e
A T
e kBT 1
R0
2
U(r)
T A , r r0
两原子间距不变，无热膨胀现象
（2）非简谐效应
U ( R0
)
U ( R0
)
1 2!
2U R 2
R0
2
1 3!
3U R3
R0
3
R0 R
T A , r r0
两原子间距增大，有热膨胀现象。
2.理论计算 由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移
eu kBT d
πkBT
1 /
2
2 c c
e d c 2 kBT
ea2x2 dx π
0
2a
1/ 2
a
c kBT
结束
线膨胀系数
1 R0
d
dT
3g 4 c2 R0
kB
3 4
g c2
kBT
显然，在简谐近似下，g=0，=0。
当势能只保留到3次方项时，线膨胀系数与温度无关。
若保留更高次项，则线膨胀系数与温度有关。
e d u kBT
e d eu kBTd
c 2 kBT
0
是的奇函数
0 在简谐近似下无热膨胀现象。
(2)非简谐效应:
U(R0 ) c 2 g 3
eu kBT d
e d u kBT
e d eu kBTd
( c 2 g 3 ) kBT
g
kBT
3.7.2 热传导
当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等 达到新的热平衡, 这种现象称为热传导。
j dT
dx
(为正值)为热传导系数或热导率。
负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。
晶体热传导
电子热导 晶格热导
电子运动导热(金属) 格波的传播导热(绝缘体、半导体)
1.微观解释 (1)气体热传导
nk
d2u dr 2
r0
在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1
n
n+1
n+2
m
m
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aeitnaq
2 sin aq
D
T
3
f
D
T
3
T
D
D T
0
ex ex 1
2
x4dx
高低温时均与实验相吻合，且温度越低， 与实验吻合的越好。
晶体的非简谐效应
1.非简谐效应：
U(
R0
)
U(
R0
)
1 2!
2U R2
R0
2
1 3!
3U R3
R0
3
c 2 g 3
2.声子与声子相互作用：
q11
q2
微扰项
声子间有相互 作用
能量交 换
系统达到热 平衡
两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可以看成是两个声子的 相互碰撞，最后产生第三个声子。
声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒
1 2 3
q1
q2
q3
K h
(1) K h 0 ---正常过程( N过程)；
碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。
碰撞
高
放能
温
区 碰撞
吸能
气体分子
低 温
1 3
CV
v
区 CV单位体积热容
---平均自由程
v 热运动平均速度
(2)晶格热传导 晶格热振动看成是“声子气体”，
高
低
温
温
区
扩散
区
声子数密 度大
声子数密 度小
1 n
e kBT 1
1 3
CV
v
CV单位体积热容
---声子自由程
v 声子平均速度
(常取固体中声速)
(2) K h 0 ---反常过程( U过程)。
qy
q1
q3
q2
qx
qy
K h q1
q3
q2
q1 q2
qx
以下用非简谐近似理论解释晶体的热膨胀和热传导现象
3.7.1 热膨胀
热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。
1.物理图象
0
R
R0
假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置R0附近作振动，离
第七节 晶体的非简谐效应
本节主要内容: 3.7.1 热膨胀 3.7.2 热传导
§3.7 晶体的非简谐效应
简谐近似：
U ( R0
)
U(R0 )
U R
R0
1 2!
2U R 2
R0
2
U (R0
)
1 2!
2U R 2
R0
(R
R0
)2
f
U R
(R R0 )
(1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加， 各振子间不发生作用，也不交换能量；
5
/
2
3
π
kBT c 4
e d (c 2 g 3 ) kBT
πkBT
1
2
c
3 4
g c2
kBT
在非简谐效应下，有热膨胀现象。
公式推导
e d e d u kBT
(c 2 g 3 ) kBT
e e d c 2 / kBT g 3 / kBT
ec
2
kBT
1
g 3
kBT
d
g 4 ec 2 kBTd kBT
1/ 2
令x
c kBT
g kBT 5 / 2 x4ex2 dx
kBT c
2
g
kBT
5
/
2
x4e x2 dx
kBT c 0
2
g
kBT
5
/
2
x4e x2 dx
kBT c 0
g
kBT
5
/
2
3
π
kBT c 4
静电介电常量
(2)铁电软模(光学软模)
1/2
S
TO 0
3.极化声子和电磁声子
0
因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以长
光学纵波声子称为极化声子。
长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子。
确定晶格振动谱的实验方法
1.方法： 中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项 b11W为准弹性恢复力，第二项表示电场 E附
加了恢复力。
(2)式代表极化方程，b21W表示离子位移引起的极化，第二项表示电场 E附加
了极化。
2.LST关系
2 T
0
2 L0
s
(1) s , Lo To
光频介电常量
---著名的LST关系
2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得：
P' 2 P 2 ( q)
2Mn 2Mn
P'
P
q
K h
“+”表示吸收一个声子 “-”表示发射一个声子
3.仪器： 三轴中子谱仪。
晶体比热
1.固体比热的实验规律 (1)在高温时，晶体的比热为3NkB； (2)在低温时，绝缘体的比热按T3趋于零。
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。
(3)晶格振动频率在 0 ~ D之间(D为德拜
频率)。
E
3N
e kBT
1
1 2
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
E
T
f
E
T
E
T
2
E
eT
e
E
T
12
高温时与实验相吻合，低温时以比T3 更快的速度趋于零。
德拜模型
CV
3 NkB
f
q23Kh3
(1) (2)
3.晶体的热膨胀现象：
eu kBT d
4.晶体的热传导现象：
e d u kBT
1 3
CV
v
高ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时:
1 低温时:
T
3g 4 c2 kBT
T3
习题
1,已知由N个质量为m，间距为 a 的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为：
( 4
)
1 2
sin
qa
m
2
，
(1) 试给出它的格波态密度 g()
(2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其 他声子，也不能使自己处于热平衡状态。
用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。
晶体的非简谐效应：
U (R0
)
U(R0 )
U R
R0
1 2!
2U R 2
R0
2
1 3!
3U R 3
R0
3
微扰项
开平衡位置的位移用表示，势能在平衡位置附近展开：
U ( R0
)
U(R0 )
U R
R0
1 2!
2U R 2
R0
2
1 3!
3U R 3
R0
3
0
U ( R0
)
U ( R0
)
1 2!
2U R 2
R0
2
1 3!
3U R 3
R0
3
（1）简谐近似
U
(
R0
)
U
( R0
)
1 2!
2U R2
m2
2 m
πq π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数目=晶 体的原胞数
一维双原子链振动
2n-2 2n-1 2n 2n+1
M
m
..
a
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2