matlab与概率统计
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概率统计的MATLAB求解
随机变量及其分布 随机变量函数的分布
随机变量的数字特征
参数估计
假设检验
回归分析
1
2014-11-23
1 随机变量及其分布 k k n k 二项分布B(n,p) P{X k} C n p (1 p)
命令1：Fx=binocdf(x,n,p) 功能：计算二项分布的累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=binoinv(y, n,p) 功能：计算随机量x，使得y=P{X≤x} 命令3：X=binornd(n,p,M,N) 功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵X 命令4：Px=binopdf(x,n, p) 功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率Px=P{X=x}
2014-11-23
17
2 随机变量的数字特征
例3.6设随机变量X的分布密度为：
0.5e x f ( x) x 0 . 5 e x0 其他
Biblioteka Baidu
求随机变量Y=|X|的期望。
EY g ( x) f ( x)dx
程序：clear;syms x;
fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x); EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf)
x0 x0
命令:chi2cdf(x, k), chi2inv(p, k),chi2pdf(x, k) chi2rnd(k,m,n)
2014-11-23 8
1 随机变量及其分布
T分布
k 1 ( ) k 1 2 x 2 密度函数：f T ( x) (1 ) 2 k k k ( ) 2
例3.5设随机变量X的分布密度为：
a bx 2 f ( x) 0 0 x 1 其他
且EX=3/5，求常数a,b的值。
程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x^2; EX=int(x*fx,x,0,1) EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1) F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1; [a,b]=solve(f1,f2) a=3/5,b=6/5
1 随机变量及其分布
0.8 0.7
Probability Between Limits is 0.26209
0.6
0.5
Density
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2014-11-23
2 Critical Value
2.5
3
3.5
4
14
2 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 1.数组的平均值---Y=mean(X)
4
1 随机变量及其分布
指数分布X~exp(λ)
命令1：Fx=expcdf(x, lambda) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=expinv(p, lambda) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=exprnd(lambda,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=exppdf(x, lambda) 2014-11-23 功能：计算分布密度p(x)在x的值
2014-11-23
15
2 随机变量的数字特征
例3.4设随机变量X的分布列，求期望。 X -1 0 2 3
P
1/8
1/4
3/8
1/4
程序：clear; x=[-1,0,2,3]; p=[1/8,1/4,3/8,1/4]; EX=sum(x.*p)
1.3750
2014-11-23
16
2 随机变量的数字特征
命令:gamcdf(x, a, lambda), gaminv(p, a, lambda) gampdf(x, a,lambda), gamrnd(a, lambda,m,n)
2014-11-23
7
1 随机变量及其分布
Χ 2分布
k x 1 1 2 2 x e k k 密度函数：f 2 ( x) 2 2 ( ) 2 0
2014-11-23 20
3 参数估计
例3.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分 布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的 参数估计。
程序：clear; w=normrnd(15,2.5,50,1); 或w=15+2.5*randn(50,1); alpha=0.03; [mh,sh,mc,sc]=normfit(w,alpha) 运行一次：mh=15.1076 sh=2.4038 mc=14.3478~15.8674 sc=1.9709~3.0703
2014-11-23
k!
k
3
1 随机变量及其分布
正态分布X~N(μ,σ2)
P{X x}
x
1 2
e
1 2
2 ( x ) 2
dx
2014-11-23
命令1：Fx=normcdf(x, mu,sigma) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=norminv(p, mu,sigma) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=normpdf(x, mu,sigma) 功能：计算分布密度p(x)在x的值 补充：randn()---标准正态分布随机数
11
1 随机变量及其分布
p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,'*r')；title('概率分布图'）
2014-11-23
12
1 随机变量及其分布
例3.2设X~N(2,0.25) (1) 求概率P{1<X<2.5}； (2)绘制分布函数图象和分布密度图象; (3)画出区间[1.5,1.9]上的分布密度曲线下方区域。 程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)- normcdf(1,2,0.5) p = 0.8186 (2) x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5); fx= normcdf(x,2,0.5); plot(x,px,'+b');hold on; plot(x,fx,'*r');legend('正态分布函数','正态分布密度'); (3) specs=[1.5,1.9]; pp=normspec(specs,2,0.5) 2014-11-23 13
2014-11-23
27
§8.4.2 利用MATLAB进行线性回归分 析 x、y 对不含常数项的一元回归模型 y ax ，
都是 n 1 向量，在MATLAB中进行回归分析的 程序为： ①b＝regress(y,x) 返回基于观测y和回归矩阵x的最小二乘拟 合系数的结果。 ②[b，bint，r ,rint，stats]＝regress(y,x) 则给出系数的估计值b；系数估计值的置信度为 95％的置信区间bint;残差r及各残差的置信区间 2 rint; 向量 stats 给出回归的 R 统计量和F以及P 42 2014-11-23 值.
6
2014-11-23
1 随机变量及其分布
Γ 分布
a x a 1 x e 密度函数： f ( x) (a) 0 其中( a )
x0 x0
0
x a 1e x dx
1 满足： ( a ) a( a 1), (1) 1, ( ) 2
功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为 行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的 平均值，应用嵌套：mean(mean(X))或m=mean(X(:)) 与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等 2.离散型随机变量的期望----EX=sum(X.*P) 功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和 3.连续型随机变量的期望----EX=int(x*fx,x,a,b) 功能：用积分计算期望
x0 x0
命令:fcdf(x, p,q), finv(F,p,q),fpdf(x, p,q) frnd(p,q,m,n)
2014-11-23 10
1 随机变量及其分布
例3.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概 率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X： (1)试计算x=45的概率和x≤45的概率； (2)绘制分布函数图象和分布列图象。 程序：》clear; px=binopdf(45,100,0.5) % 计算x=45的概率 px = 0.0485 fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算x≤45的概率 fx =0.1841 》x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,'+'); title('分布函数图') 2014-11-23
2014-11-23 26
3 参数估计
例3.9设从一大批产品中抽取100个产品，经检验 知有60个一级品，求这批产品的一级品率(置信度 95%)。
程序：clear; alpha=0.05;N=100;X=60; [Ph,Pc]=mle('bino',X,alpha,N) 运行一次：Ph=0.6000 Pc=0.4972~0.6967
1 e P{ X x} 0
x
x0 x0
5
1 随机变量及其分布
均匀分布X~U(a,b) 命令1：Fx=unifcdf(x, a,b) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=unifinv(p, a,b) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=unifrnd(a,b,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=unifpdf(x, a,b) 功能：计算分布密度p(x)在x的值 补充：rand()---(0,1)均匀分布随机数
2 随机变量的数字特征
例3.7设随机变量X的分布密度为：
2 cos 2 x f ( x) 0 | x |
2 其他
求随机变量X的期望和方差。
程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x))^2;
EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2) E2X=int(x^2*fx,x,-pi/2,pi/2) DX=E2X-EX^2
EY=
2014-11-23
1
18
2 随机变量的数字特征
随机变量的方差 1.统计数据的方差---D=var(X,1)
功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行 向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方 差值，应用嵌套：var(var(X))n 1 2 2 缺省1，计算： S ( x x ) i n 1 i 1 n 1 2 S ( xi x ) 2 否则计算： n i 1 2.统计数据的标准差---S=std(X,1) 功能：用法和1的解释同上 3. 一般随机变量的方差----DX=E(X2)-(EX)2 功能：用积分或级数编程计算 2014-11-23 19
命令:tcdf(x, k), tinv(p, k),tpdf(x, k) trnd(k,m,n)
2014-11-23
9
1 随机变量及其分布
F分布
pq p q p pq ( 2 ) 2 1 p q 2 x 2 ( p qx) 2 密度函数：f F ( x) p q ( 2 ) ( 2 ) 0
2014-11-23 2
1 随机变量及其分布
泊松分布X~P(λ)
P{ X k} e
命令1：Fx=poisscdf(x,lambda) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=poissinv(p, lambda) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=poissrnd(lambda,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=poisspdf(x,lambda) 功能：计算概率Px=P{X=x}
③[b，bint，r ,rint，stats]=regress(y,x，alpha) 给出置信度为 1-alpha的结果
系数的 估计值
残差 残差的置 信区间 置信区间 R 2 统计量 和F以及P值
随机变量及其分布 随机变量函数的分布
随机变量的数字特征
参数估计
假设检验
回归分析
1
2014-11-23
1 随机变量及其分布 k k n k 二项分布B(n,p) P{X k} C n p (1 p)
命令1：Fx=binocdf(x,n,p) 功能：计算二项分布的累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=binoinv(y, n,p) 功能：计算随机量x，使得y=P{X≤x} 命令3：X=binornd(n,p,M,N) 功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵X 命令4：Px=binopdf(x,n, p) 功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率Px=P{X=x}
2014-11-23
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2 随机变量的数字特征
例3.6设随机变量X的分布密度为：
0.5e x f ( x) x 0 . 5 e x0 其他
Biblioteka Baidu
求随机变量Y=|X|的期望。
EY g ( x) f ( x)dx
程序：clear;syms x;
fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x); EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf)
x0 x0
命令:chi2cdf(x, k), chi2inv(p, k),chi2pdf(x, k) chi2rnd(k,m,n)
2014-11-23 8
1 随机变量及其分布
T分布
k 1 ( ) k 1 2 x 2 密度函数：f T ( x) (1 ) 2 k k k ( ) 2
例3.5设随机变量X的分布密度为：
a bx 2 f ( x) 0 0 x 1 其他
且EX=3/5，求常数a,b的值。
程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x^2; EX=int(x*fx,x,0,1) EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1) F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1; [a,b]=solve(f1,f2) a=3/5,b=6/5
1 随机变量及其分布
0.8 0.7
Probability Between Limits is 0.26209
0.6
0.5
Density
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2014-11-23
2 Critical Value
2.5
3
3.5
4
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2 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 1.数组的平均值---Y=mean(X)
4
1 随机变量及其分布
指数分布X~exp(λ)
命令1：Fx=expcdf(x, lambda) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=expinv(p, lambda) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=exprnd(lambda,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=exppdf(x, lambda) 2014-11-23 功能：计算分布密度p(x)在x的值
2014-11-23
15
2 随机变量的数字特征
例3.4设随机变量X的分布列，求期望。 X -1 0 2 3
P
1/8
1/4
3/8
1/4
程序：clear; x=[-1,0,2,3]; p=[1/8,1/4,3/8,1/4]; EX=sum(x.*p)
1.3750
2014-11-23
16
2 随机变量的数字特征
命令:gamcdf(x, a, lambda), gaminv(p, a, lambda) gampdf(x, a,lambda), gamrnd(a, lambda,m,n)
2014-11-23
7
1 随机变量及其分布
Χ 2分布
k x 1 1 2 2 x e k k 密度函数：f 2 ( x) 2 2 ( ) 2 0
2014-11-23 20
3 参数估计
例3.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分 布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的 参数估计。
程序：clear; w=normrnd(15,2.5,50,1); 或w=15+2.5*randn(50,1); alpha=0.03; [mh,sh,mc,sc]=normfit(w,alpha) 运行一次：mh=15.1076 sh=2.4038 mc=14.3478~15.8674 sc=1.9709~3.0703
2014-11-23
k!
k
3
1 随机变量及其分布
正态分布X~N(μ,σ2)
P{X x}
x
1 2
e
1 2
2 ( x ) 2
dx
2014-11-23
命令1：Fx=normcdf(x, mu,sigma) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=norminv(p, mu,sigma) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=normpdf(x, mu,sigma) 功能：计算分布密度p(x)在x的值 补充：randn()---标准正态分布随机数
11
1 随机变量及其分布
p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,'*r')；title('概率分布图'）
2014-11-23
12
1 随机变量及其分布
例3.2设X~N(2,0.25) (1) 求概率P{1<X<2.5}； (2)绘制分布函数图象和分布密度图象; (3)画出区间[1.5,1.9]上的分布密度曲线下方区域。 程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)- normcdf(1,2,0.5) p = 0.8186 (2) x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5); fx= normcdf(x,2,0.5); plot(x,px,'+b');hold on; plot(x,fx,'*r');legend('正态分布函数','正态分布密度'); (3) specs=[1.5,1.9]; pp=normspec(specs,2,0.5) 2014-11-23 13
2014-11-23
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§8.4.2 利用MATLAB进行线性回归分 析 x、y 对不含常数项的一元回归模型 y ax ，
都是 n 1 向量，在MATLAB中进行回归分析的 程序为： ①b＝regress(y,x) 返回基于观测y和回归矩阵x的最小二乘拟 合系数的结果。 ②[b，bint，r ,rint，stats]＝regress(y,x) 则给出系数的估计值b；系数估计值的置信度为 95％的置信区间bint;残差r及各残差的置信区间 2 rint; 向量 stats 给出回归的 R 统计量和F以及P 42 2014-11-23 值.
6
2014-11-23
1 随机变量及其分布
Γ 分布
a x a 1 x e 密度函数： f ( x) (a) 0 其中( a )
x0 x0
0
x a 1e x dx
1 满足： ( a ) a( a 1), (1) 1, ( ) 2
功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为 行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的 平均值，应用嵌套：mean(mean(X))或m=mean(X(:)) 与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等 2.离散型随机变量的期望----EX=sum(X.*P) 功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和 3.连续型随机变量的期望----EX=int(x*fx,x,a,b) 功能：用积分计算期望
x0 x0
命令:fcdf(x, p,q), finv(F,p,q),fpdf(x, p,q) frnd(p,q,m,n)
2014-11-23 10
1 随机变量及其分布
例3.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概 率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X： (1)试计算x=45的概率和x≤45的概率； (2)绘制分布函数图象和分布列图象。 程序：》clear; px=binopdf(45,100,0.5) % 计算x=45的概率 px = 0.0485 fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算x≤45的概率 fx =0.1841 》x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,'+'); title('分布函数图') 2014-11-23
2014-11-23 26
3 参数估计
例3.9设从一大批产品中抽取100个产品，经检验 知有60个一级品，求这批产品的一级品率(置信度 95%)。
程序：clear; alpha=0.05;N=100;X=60; [Ph,Pc]=mle('bino',X,alpha,N) 运行一次：Ph=0.6000 Pc=0.4972~0.6967
1 e P{ X x} 0
x
x0 x0
5
1 随机变量及其分布
均匀分布X~U(a,b) 命令1：Fx=unifcdf(x, a,b) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=unifinv(p, a,b) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=unifrnd(a,b,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=unifpdf(x, a,b) 功能：计算分布密度p(x)在x的值 补充：rand()---(0,1)均匀分布随机数
2 随机变量的数字特征
例3.7设随机变量X的分布密度为：
2 cos 2 x f ( x) 0 | x |
2 其他
求随机变量X的期望和方差。
程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x))^2;
EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2) E2X=int(x^2*fx,x,-pi/2,pi/2) DX=E2X-EX^2
EY=
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1
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2 随机变量的数字特征
随机变量的方差 1.统计数据的方差---D=var(X,1)
功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行 向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方 差值，应用嵌套：var(var(X))n 1 2 2 缺省1，计算： S ( x x ) i n 1 i 1 n 1 2 S ( xi x ) 2 否则计算： n i 1 2.统计数据的标准差---S=std(X,1) 功能：用法和1的解释同上 3. 一般随机变量的方差----DX=E(X2)-(EX)2 功能：用积分或级数编程计算 2014-11-23 19
命令:tcdf(x, k), tinv(p, k),tpdf(x, k) trnd(k,m,n)
2014-11-23
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1 随机变量及其分布
F分布
pq p q p pq ( 2 ) 2 1 p q 2 x 2 ( p qx) 2 密度函数：f F ( x) p q ( 2 ) ( 2 ) 0
2014-11-23 2
1 随机变量及其分布
泊松分布X~P(λ)
P{ X k} e
命令1：Fx=poisscdf(x,lambda) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=poissinv(p, lambda) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=poissrnd(lambda,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=poisspdf(x,lambda) 功能：计算概率Px=P{X=x}
③[b，bint，r ,rint，stats]=regress(y,x，alpha) 给出置信度为 1-alpha的结果
系数的 估计值
残差 残差的置 信区间 置信区间 R 2 统计量 和F以及P值