华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 定积分)【圣才出品】

第9章　定积分

§1　定积分概念1

．按定积分定义证明：

证明：对于[a ，b]的任一分割

，任取，f （x ）＝k 相

应的积分和为从而可取δ

为任何正数，只要使，就有

根据定积分定义有

2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集

，把定积分看作是对应的积分和

的极限，来计算下列定积分：解：（1）因f （x ）＝x 3在[0，1]上连续，所以f （x ）在[0，1]上可积．对

[0，1]进行n 等分，记其分割为

，取为区间的右端点，

i ＝1，2，…，n ，得（2）同（1），有

（3）由在[a，b]上连续知，f（x）在[a，b]上可积，对[a，b]进行n等分，

记其分割为，则，取为区间

的右端点，i＝1，2，…，n，得

（4）同（3），取，得

§2 牛顿-莱布尼茨公式

1．计算下列定积分：

解：

（7）先求原函数，再求积分值：

2．利用定积分求极限：

解：（1）把极限化为某一积分的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形：

这是函数在区间[0，1]上的一个积分和的极限．这里所取的是等分分割，

，而恒为小区间的右端点，i＝1，2，…，n．所以有

（2）

不难看出，其中的和式是函数在区间[0，1]上的一个积分和．所以有

（3）

（4）

3．证明：若f在[a，b]上可积，F在[a，b]上连续，且除有限个点外有F'（X）

＝f（x），则有

证明：对[a，b]作分割，使其包含等式F'（x）＝f（x）不成

立的有限个点为部分分点，在每个小区间上对

F （x ）使用拉格朗日中值定理，则分别存在

，使

于是因为f 在[a ，b]上可积，所以令，有§3 可积条件

1．证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则

证明：设T 增加p 个分点得到T '，将p 个新分点同时添加到T ，和逐个添加到T ，都同样得到T '，所以我们只需证p ＝1的情形．

在T 上添加一个新分点，它必落在T 的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记作

与．但T 的其他小区间（i≠k）仍旧是新分割T 1

所属的小区间，因此，比较的各个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的

一项换为后者中的两项．又因函数在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅，即有

．故

即

一般的，对增加一个分点得到，就有

这里，故

2

．证明：若f（x）在[a，b]上可积，[α，β][a，b]，则f（x）在[α，β]上也可积．

证明：已知f（x）在[a，b]

上可积，故任给ε＞

0，存在对[a，b]的某分割T

，使得，在T上增加两个分点α，β，得到一个新的分割T'

，则由上题结论知

分割T'在[α，β]上的部分，构成[α，β]的一个分割，记为T*，则有

故由可积准则知，f（x）在[α，β]上可积．

3．设f、g均为定义在[a，b]上的有界函数．证明：若仅在[a，b]中有限个点处

f（x）≠g（x），则当f在[a

，b]上可积时，g在[a，b]上也可积，且

证明：设f（x）与g（x

）在[a，b]上的值仅在k个点处不同，记

，由于f （x ）在[a ，b]上可积．存在，

使当时，有令，则当时，有当

时，，所以上式中至多仅有k项不为0，故

这就证明g（x）在[a，b]可积，且