数据库求闭包,求最小函数依赖集,求候选码,判断模式分解是否为无损连接,3NF,BCNF

1.说白话一点：闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。

例（1）：设有关系模式R(U，F)，其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算(AE)+

解: (1) 令X={AE}，X(0)=AE

(2)在F中寻找尚未使用过的左边是AE的子集的函数依赖，结果是: A→D，E→C；所以

X(1)=X(0)DC=ACDE，显然X(1)≠X(0).

(3) 在F中寻找尚未使用过的左边是ACDE的子集的函数依赖，结果是: CD→I；所以

X(2)=X(1)I=ACDEI。虽然X（2）≠X(1)，但F中寻找尚未使用过函数依赖的左边已经没有X（2）的子集，所以不必再计算下去，即(AE)+=ACDEI。

例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}

2.候选码的求解理论和算法

对于给定的关系R（A1，A2，…An）和函数依赖集F，可将其属性分为4类：

L类仅出现在函数依赖左部的属性。

R 类仅出现在函数依赖右部的属性。

N 类在函数依赖左右两边均未出现的属性。

LR类在函数依赖左右两边均出现的属性。

定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。

推论：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，且X+包含了R的全部属性；则X必为R的唯一候选码。

例（2）：设有关系模式R（A，B，C，D），其函数依赖集F={D→B，B →D，AD →B，AC →D}，求R的所有候选码。

解：考察F发现，A，C两属性是L类属性，所以AC必是R的候选码成员，又因为（AC）+=ABCD，所以AC是R的唯一候选码。

定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是R类属性，则X不在任何候选码中。

定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是N类属性，则X必包含在R的任一候选码中。

推论：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类和N类组成的属性集，且X+包含了R的全部属性；则X是R的唯一候选码。

具体的步骤：

算法描述

（1）将R 的所有属性分为L、R、LR 和N 四类，并令X 代表L、N 类，Y 代表LR 类。

（2）求X+。若X+包含了R 的全部属性，则即为R 的唯一候选码，转（5）；否则，转（3）。

（3）在Y 中取一属性A，求（XA）+ ，若它包含了R 的全部属性，则是候选码，转（4）；否则，调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有Y 中的属性。

（4）如果已找出所有候选码，则转（5）；否则在Y 中依次取2 个、3 个、…，求它们的属性闭包，若其闭包包含R 的全部属性，则是候选码。

（5）结束。

3.求最小函数依赖集分三步:

①将F中的所有依赖右边化为单一元素

此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足

②去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.

作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性

ab->g,也没有

cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i

F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

③去掉F中所有冗余依赖关系.

做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.

此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.

b+={b}不多余,c+={c,i}不多余

c->i,g->h多不能去掉.

所以所求最小函数依赖集为F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

4.判断模式分解是否为无损连接

方法一：无损连接定理

关系模式R(U，F)的一个分解，ρ={R1,R2}具有无损连接的充分必要条件是：

U1∩U2→U1-U2 €F+ 或U1∩U2→U2 -U1€F+

方法二：算法

ρ={R1,R2,...,R k}是关系模式R的一个分解，U={A1,A2,...,A n}，

F={FD1,FD2,...,FD p}，并设F是一个最小依赖集，记FD i为X i→A lj，其步骤如下：

①建立一张n列k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性A j U i，则在j列i行上真上a j，否则填上b ij；

②对于每一个FD i做如下操作：找到X i所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中l i列的元素，若其中有a j，则全部改为a j，否则全部改为b mli，m是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a1,a2,...,a n，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

对F中p个FD逐一进行一次这样的处理，称为对F的一次扫描。

③比较扫描前后，表有无变化，如有变化，则返回第②步，否则算法终止。如果发生循环，那么前次扫描至少应使该表减少一个符号，表中符号有限，因此，循环必然终止。

举例1：已知R，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：

① ρ1={AB,BC}

② ρ2={AB,AC}

判断这两个分解是否具有无损连接性。

①因为AB∩BC=B，AB-BC=A，BC-AB=C

所以B→A ¢F+，B→C ¢ F+

故ρ1是有损连接。

②因为AB∩AC=A，AB-AC=B，AC-AB=C

所以A→B €F+，A→C ¢F+