立体几何中的探索性问题27536

立体几何中的探索性问题

一、探索平行关系

1．[2016·枣强中学模拟] 如图所示，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况)

答案：M 位于线段FH 上(答案不唯一) [解析] 连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，故只要M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，且MN ∥平面B 1BDD 1.

2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．

(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；

(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．

解：(1)如图所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1

为正方形，所以EM ∥AD .(2分)

又在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，

所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．(4分)

设正方体的棱长为2， 则EM ＝AD ＝2，BE ＝

22＋22＋12＝3.

于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝2

3，(5分)

即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为2

3

.(6分)

(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.

事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.

因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝

BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，

因此D1C∥A1B.

又E，G分别为D1D，CD的中点，

所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.

这说明A1，B，G，E四点共面．所以BG⊂平面A1BE.

(8分)

因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，

所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，

因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG，

(10分)

而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，

故B1F∥平面A1BE.(12分)

3．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．

(1)求三棱锥A-PDE的体积；

(2)AC边上是否存在一点M，使得P A∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，

请说明理由．

解析：(1)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD . 又∵ABCD 是矩形， ∴AD ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ，

∴AD 是三棱锥A -PDE 的高． ∵E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4， ∴S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝⎛⎭⎫1

2×4×4＝4. 又AD ＝2，

∴V A －PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝8

3

.

(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，∵E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，∴EM ∥P A . 又∵EM ⊂平面EDM ，P A ⊄平面EDM ， ∴P A ∥平面EDM . ∴AM ＝1

2

AC ＝ 5.

即在AC 边上存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，AM 的长为 5.

4.如图所示，在三棱锥P - ABC 中，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．在线段AC 上是否存

在点F ，使得AD ∥平面PEF ？若存在，求出AF

FC

的值；若不存在，请说明理由．

解：假设在AC 上存在点F ，使得AD ∥平面PEF ， 连接DC 交PE 于G ，连接FG ，如图所示．

∵AD ∥平面PEF ，平面ADC ∩平面PEF ＝FG ， ∴AD ∥FG .

又∵点D ，E 分别为PB ，BC 的中点，∴G 为△PBC 的重心，∴AF FC ＝DG GC ＝1

2

.故在线段AC

上存在点F ，使得AD ∥平面PEF ，且AF FC ＝1

2

.

5．[2016·北京卷] 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC . (1)求证：DC ⊥平面P AC .

(2)求证：平面P AB ⊥平面P AC .

(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由．

解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC ⊥DC . 又因为DC ⊥AC ， 所以DC ⊥平面P AC .

(2)证明：因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ， 所以AB ⊥AC .

因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC ⊥AB ， 所以AB ⊥平面P AC ， 所以平面P AB ⊥平面P AC .

(3)棱PB 上存在点F ，使得P A ∥平面CEF .证明如下： 取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF .