探究函数概念的策略终审稿)

探究函数概念的策略文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

探究函数概念的策略

策略引入

两只黄色的小鸡正争着啄地上的一条蚯蚓。一个小男孩对一个小女孩喊："快看啊，小鸡吃蚯蚓！""才不是吃，是争着蚯蚓玩！"小女孩说。"瞧，蚯蚓被吃到肚子里去了。"小男孩惊叫道。"好奇怪，小鸡怎么会吃蚯蚓呢！小鸡只吃碎米，奶奶每天给小鸡碎米吃。"小女孩嘟嘟囔囔。 "小鸡还吃饭、吃菜叶、吃虫子，还吃--"小男孩说不出来，停顿了一会，"可能还吃巧克力。"说完，他从口袋里掏出刚才吃剩的巧克力，掰了一小块，放在地上。"小鸡认为是小泥块，才不吃。"小女孩说。"不会的！"小男孩嚷道，"它们没有看见。"说完，弯腰捡起了巧克力，丢到小鸡群中。"吃了，吃了。小鸡爱吃巧克力，谁都爱吃巧克力。"小男孩跳着，笑着，奔到房下："妈妈，妈妈，小鸡爱吃巧克力！"以上这一幕，体现了一次探究活动，探究是人的天性。正是通过对周围世界不断的探究，人成长起来了！"

策略剖析

探究的策略就是在探究问题的过程中所采取的方法，如对比、等价探究、加

强条件或削弱条件等等。它是在好奇心驱使下、以问题为导向、有高度智力投

入且内容和形式都十分丰富的学习活动。策略的合理使用能使问题的探究过程

更有方向性，更有效，提高学习的效率，达到准确把握概念实质的目的。

函数是贯穿高中数学知识的主线，其思想方法渗透到各部分内容的学习中。

象，对概念的必要性和合理性进行推敲,直到我们能够界定问题,并形成和修正解决问题的方案。

对函数概念的探究可以从以下几个方面进行：

1.通过对比，探究函数与映射的联系

当学习一个新概念时，要开展知识之间的纵横联系，寻求不同概念之间的交汇点，对相似的概念要把握它们之间的区别与联系。函数概念是建立在映射概念基础上的。映射f:A→B是指，对于集合A的每一个元素a，按照某个对应法则f，在集合B中都有唯一确定的值和它对应。当A、B都是非空数集时，映射f:A→B叫做从A到B的函数。可见，映射是建立在集合A→集合B上的单值对应。由于函数是描述变量情景中的两个变量之间存在的量的关系。因此，函数又是建立在从非空集到非空集上的映射，故函数是一种特殊的映射。

2、探究“关键词”与本质

探究一：寻求关键词。审查函数的定义，发现“每一个确定”，“唯一确定”是定义中的关键词。它的意思是，自变量x所在的集合中的每一个元素，通过某种对应法则，在另一个变量y所在的集合中都有且只有一个确定的值与x的值对应。它体现函数是从一个数集到另一个数集上的单值映射。

例1：下列各图象中，

不可能是函数y=f(x)的图象的序号是____________。

在四个图象中，从定义中所要求的对应关系入手，发现（3）、（4）不符合“唯一确定”的条件，故答案：（3）（4）。

请同学们想一想：怎样修改（3）（4）的图象，使它们能作为某函数的图

象？

探究二：把握本质要素。 对于函数而言，函数有三要素：定义域，值域，及对应法则f 。其中f 是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x 和y 的纽带，是函数的核心；定义域是自变量x 的取值范围，值域是全体函数值的集合。 对于函数的对应法则的确定，具体问题具体分析。在分析过程的关键在于探究y 与x 之间存在的等量关系。一旦定义域和对应法则确定，函数的值域就随之确定。关于函数的定义域的探究可以从以下方面展开。

其一：研究函数的解析式。在一般情况下，函数的定义域就是使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。

其二：扣紧函数所针对的具体的背景。数学是来源于生活的。例如：我们用函数40010y x =+来模拟在销售衣服的过程中，在一周到5周内，每件衣服的销售价格y 与周次x 的函数关系时，该函数的定义域就不是R ，而是[1,5]x ∈且x N ∈，诸如此类的问题，请同学们结合平时学习加以重视。

其三：灵活处理函数的定义域，使之符合研究问题的特殊要求。例如：函数2y x =在R 上是有意义的，但不存在反函数，如果将其定义域限制在R +，那么它就存在反函数。在什么条件下，两个函数被认为是相同的函数？

3、探究符号 准确运用 探究发展

数学知识的表达方式有文字语言，符号语言及图象语言，三种语言的互化在

解决问题时十分重要。三种语言中，符号语言由于形式简洁、抽象、概括性

强，因此，理解及运用的难度大。

例如在学习函数的周期性时，抓住定义中的f(x+T)=f(x)提出问题。

数学不是空中

楼阁，数学是来源

例2、你能从f(x+T)=f(x)得出其他关于函数周期性的表达式吗？

探究1：将f(x+T)=f(x)改写为f(x+T)= -f(x)。注意到-f(x)就是f(x)的相反数，因此计算f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x).可见满足条件f(x+T)= -f(x)的函数仍具有周期性，最小正周期为2T。

探究2：若f(x+T)=

1

()

f x

或f(x)=-

1

()

f x

，同样可以推出f(x)的周期为2T.

探究3：若将f(x+T)=f(x)改为f(T-x)=f(x)，该函数还具备周期性吗如果不具备周期性，那么你能得出什么结论

当函数f(x)满足f(T-x)=f(x)时，函数不具备周期性。反例：()1

f x x

=-满足

(2)()

f x f x

-=，此时T=2，但它不是周期函数。通过研究它的图象还可以发现x=1是其图象的对称轴。类似的反例还有f(x)=243

x x

-+等等。从对反例的研究，可以对满足f(T-x)=f(x)的函数进行对称性的论证。

证明：在函数图象上任取一点P（x,y）则y=f(x)

设P关于x=1

2

T的对称点P'（T-x,y）。

由f(T-x)=f(x)得f(T-x)=f(x)

即y=f(T-x)

所以P'（T-x,y）也在y=f(x)的类似的图象上。

得到结论：当函数f(x)满足f(T-x)=f(x)时，f(x)的对称轴为x=1

2 T。

例3：当f（x－l）＝f（1-x）时，函数y=f(x)的图象的对称轴是什么？并回答y＝f （x－l）与 y＝f（1-x）的图象的对称轴。

对这个问题，你是否认为它们的对称轴都是y轴？