层次聚类

1. 层次聚类

层次聚类算法与之前所讲的顺序聚类有很大不同，它不再产生单一聚类，而是产生一个聚类层次。说白了就是一棵层次树。介绍层次聚类之前，要先介绍一个概念——嵌套聚类。讲的简单点，聚类的嵌套与程序的嵌套一样，一个聚类中R1包含了另一个R2，那这就是R2嵌套在R1中，或者说是R1嵌套了R2。具体说怎么算嵌套呢？聚类R1={{x1,x2},{x3},{x4,x5}嵌套在聚类R2={{x1,x2,x3},{x4,x5}}中，但并不嵌套在聚类R3={{x1,x4},{x3},{x2,x5}}中。

层次聚类算法产生一个嵌套聚类的层次，算法最多包含N步，在第t步，执行的操作就是在前t-1步的聚类基础上生成新聚类。主要有合并和分裂两种实现。我这里只讲合并，因为前一阶段正好课题用到，另外就是合并更容易理解和实现。当然分裂其实就是合并的相反过程。

令g(Ci,Cj)为所有可能的X聚类对的函数，此函数用于测量两个聚类之间的近邻性，用t表示当前聚类的层次级别。通用合并算法的伪码描述如下：

1. 初始化：

a) 选择Â0={{x1},…,{xN}}

b) 令t=0

2. 重复执行以下步骤：

a) t=t+1

b) 在Ât-1中选择一组(Ci,Cj)，满足

c) 定义Cq=CiÈCj，并且产生新聚类Ât=(Ât-1-{Ci,Cj})È{Cq}

直到所有向量全被加入到单一聚类中。

这一方法在t层时将两个向量合并，那么这两个向量在以后的聚类过程中的后继聚类都是相同的，也就是说一旦它们走到一起，那么以后就不会再分离……（很专一哦）。这也就引出了这个算法的缺点，当在算法开始阶段，若出现聚类错误，那么这种错误将一直会被延续，无法修改。在层次t上，有N-t个聚类，为了确定t+1层上要合并的聚类对，必须考虑(N-t)(N-t-1)/2个聚类对。这样，聚类过程总共要考虑的聚类对数量就是(N-1)N(N+1)/6，也就是说整个算法的时间复杂度是O(N3)。

举例来说，如果令X={x1, x2, x3, x4, x5}，其中x1=[1, 1]T, x2=[2, 1]T, x3=[5, 4]T, x4=[6, 5]T, x5=[6.5, 6]T。那么合并算法执行的过程可以用下面的图来表示。

P(X)是不相似矩阵

该算法从核心过程上来讲，就是先计算出数据集中向量之间的距离，记为距离矩阵（也叫不相似矩阵）。接着通过不断的对矩阵更新，完成聚类。矩阵更新算法的伪码描述如下：

1. 初始化：

a) Â0={{x1},…,{xN}}

b) P0=P(X) (距离矩阵)

c) t=0

2. 重复执行以下步骤：

a) t=t+1

b) 合并Ci和Cj为Cq，这两个聚类满足d(Ci,Cj)=minr,s=1,…,N,r≠sd(Cr,Cs)

c) 删除第i和j行，第i和j列，同时插入新的行和列，新的行列为新合并的类Cq与所有其他聚类之间的距离值

直到将所有向量合并到一个聚类中

大家可以看到，层次聚类算法的输出结果总是一个聚类，这往往不是我们想要的，我们总希望算法在得到我们期望的结果后就停止。那么我们如何控制呢？常用的做法就是为算法限制一个阈值，矩阵更新过程中，总是将两个距离最近的聚类合并，那么我们只要加入一个阈值判断，当这个距离大于阈值时，就说明不需要再合并了，此时算法结束。这样的阈值引入可以很好的控制算法结束时间，将层次截断在某一层上。

2. 算法实现

MATLAB实现了层次聚类算法，基本语句如下：

X = [1 2;2.5 4.5;2 2;4 1.5;4 2.5] ;

Y = pdist(X,'euclid');

Z = linkage(Y,'single');

T = cluster(Z,'cutoff',cutoff);

MATLAB还有一个简化的层次聚类版本，一句话搞定

T = clusterdata(X,cutoff)

Java实现的版本：

1 package util;

2

3 import java.util.*;

4

5 public class Clusterer {

6 private List[] clusterList;

7 DisjointSets ds;

8 private static final int MAX = Integer.MAX_V ALUE;

9 private int n;

10 private int cc;

11

12 // private double ori[] = {1,2,5,7,9,10};

13

14 public Clusterer(intnum) {

15 ds = new DisjointSets(num);

16 n = num;

17 cc = n;

18 clusterList = new ArrayList[num];

19 for (inti = 0; i< n; i++)

20 clusterList[i] = new ArrayList();

21 }

22

23 public List[] getClusterList() {

24 return clusterList;

25 }

26

27 public void setClusterList(List[] clusterList) {

28 this.clusterList = clusterList;

29 }

30

31 public void output() {

32 intind = 1;

33 for (inti = 0; i< n; i++) {

34 clusterList[ds.find(i)].add(i);

35 }

36 for (inti = 0; i< n; i++) {

37 if (clusterList[i].size() != 0) {

38 System.out.print("cluster " + ind + " :");

39 for (int j = 0; j

40 System.out.print(clusterList[i].get(j) + " ");

41 }

42 System.out.println();

43 ind++;

44 }