高数第十二章-全微分方程

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在简单的情形,可用观察法求积分因子.
例3 求解方程 ydx xdy 0.
解 因 d( x ) ydx xdy
y
y2
用 1 乘以原方程的两端,得 y2
ydx xdy 0
y2
就化为一个全微分方程. 又d ( x ) 0 y
所以原方程的通解为 x C. y
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注 : 1. 同一方程可以有不同的积分因子,例如
y
|
C1
或
x
1
Ce xy
y
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第六节
第十二章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
解法：连续积分n 次, 可得含 n 个任意常数的
通解 .
例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
xdx
ydy
1 d(
(x2
y2 )),
2
所以方程是全微分方程.
全微分方程的判别
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0是全微分方程 P Q y x
3
全微分方程的解法
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
(1)
其中P( x, y)dx Q( x, y)dy du( x, y)
例4 求微分方程 (1 xy) ydx (1 xy)xdy 0 的通解.
解 分项组合
( ydx xdy) xy( ydx xdy) 0
即 d( xy) x2 y2 ( dx dy ) 0 xy
d( xy) dx dy
( )0
x2 y2
xy
积分得
1 xy
ln |
x
| ln |
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
另解 设u( x, y)满足
u 5 x4 3 xy2 y3 , u 3 x2 y 3 xy2 y2
x
y
第一式对x积分, 得
u x5 3 x2 y2 xy3 ( y)
2
8
上式对y求导, 得
u 3x2 y 3xy2 '( y) 3 x2 y 3xy2 y2
就是该微分方程的隐式通解.其中C为任意常数.
u( x, y)的求法
x
y
u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
或 u( x, y)
y
Q( x, y)dy
y0
x
x0 P( x, y0 )d x
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例1 求解 (5x4 3xy2 y3 )dx (3x2 y 3xy2 y2 )dy 0
d(ln )
2
x 11 y
二、积分因子法
定义 如果有一个适当的函数=(x, y)使
( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0 是全微分方程,则称函数( x, y)是方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
的积分因子.
问题: 如何求方程的积分因子?
如果 y (x)是全微分方程1的解, 则有
du( x,( x)) 0 因此, u( x,( x)) C
即y ( x)是由u( x, y) C所确定的隐函数.
4
反之, 如果u( x, y) C确定一个可微的隐函数
y ( x), 则
u( x,( x)) C
两端对x求导,得 u u dy 0 x y dx
即有 u dx u dy 0 x y
亦即 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
这表明由u( x, y) C所确定的隐函数是方程(1) 的解.
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结论 : 如果方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 (1)
的左端是函数u( x, y)的全微分, 则
u( x, y) C
y
所以 '( y) y2 ( y) 1 y3
3
于是 u( x, y) x5 3 x2 y2 xy3 1 y3
2
3
故原方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
9
例2 求方程 2x dx y2 3x2 dy 0的通解.
y3
y4
解
P 6x Q , y y4 x
第五节 全微分方程
全微分方程及其解法 积分因子
1
一、全微分方程及其求法
如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
(1)
的左端恰好是某一个函数u = u( x, y)的全微分 :
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy
则称方程(1)为全微分方程.
2
例如对于方程 xdx ydy 0,
解 P( x) = 5x4 3xy2 y3 , Q( x) 3x2 y 3xy2 y2
P 6xy 3 y2 Q
y
x
所以方程是全微分方程.
u( x, y) x (5x4 3xy2 y3 )dx y y2dy
0
0
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3
2
3
7
所以原方程的通解为
x
C1
y 1 e2x cos x 4
C1x C2
y
1 8
e
2
x
sin
x
C1x
2
C2
x
C3
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例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且
再把剩余的项凑成全微分。一些简单的二元函
数全微分有：
ydx xdy d( xy)
ydx xdy x
y2
d( ) y
ydx xdy y
x2
d( ) x
ydx xdy d(ln x )
xy
y
ydx xdy
x
x2 y2
d(arctan ) y
ydx xdy 1 x y
x2 y2
方程是全微分方程,
将左端重新组合
1 y2
dy
(
2x y3
dx
3x2 y4
dy)
d(
Байду номын сангаас
1) y
x2 d( y3
)
d(
1 y
x2 y3
),
原方程的通解为
1 y
x2 y3
C.
凑全微 分法
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有些方程被判定是全微分方程后，不必
按上述一般方法求解，可以采取“分项组合”
的方法,先将那些本身已构成全微分的项分出,
ydx xdy 0
的积分因子有 1 , 1 , 1 , 1 . x2 y2 xy x2 y2
因此, 在具体解题过程中,由于所用的积分 因子不同，从而通解可能具有不同的形式.
2. 在实际解方程时,可以采取“分项组合” 的方法,先将那些本身已构成全微分的
项分出,再把剩余的项组合,再考虑积
分因子.
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