换面法

§1-5 换面法
1-5-1 概述 1-5-2 点的投影变换规律 1-5-3 四个基本作图问题 1-5-4 解题举例
1-5-1 概述
当空间的直线和平面平行于投影面时， 当空间的直线和平面平行于投影面时，它们的投影反映线段的 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时， 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时，它们 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。
形的两面投影。 b’ a’ X A b a V b’ B a’ c’ C
1-5-3 四个基本作图问题
三、将一般位置平面变为投影面垂直面
[例] 将一般位置平面△ABC 变为新投影面 1 的垂直面。 例 将一般位置平面△ 变为新投影面H 的垂直面。
1-5-3 四个基本作图问题
四、将投影面垂直面变为投影面平行面
[例] 将铅垂面△ABC 变为新投影面 1 的平行面。 例 将铅垂面△ 变为新投影面V 的平行面。
d' e'
n
d
二、将投影面垂直面变换为投影面平行面
c’ c1 ’
V1
a’ b1’
b’ b c
c1 ’ a1 ’ a1 ’ X1
b1’
a c1 ’ a1’
例题1 例题
求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 的实形
a2' 作 图 b2' d1' d' c2'
(１) 将△ＡＢＣ变换 １ ＡＢＣ变换 求出ａ 成铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1 、ｃ1 、d1 ; (２) 将△ＡＢＣ变换 ２ ＡＢＣ变换 成正平面 ;
点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题， 点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题，必须掌握点的投影变换 规律。 规律。
一、点的一次变换
变换V面 变换 面
V1
a1 ’
a1’ X1
a’
V1 a1’ X1
a1 ’
a1’
V X H
a
点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。 、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。 2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投 、 影轴的距离。 影轴的距离。
∵ 当直线平行投 影面时， 影面时，它在该投影 面上的投影反映它的 实长及与另外两投影 面的夹角。 面的夹角。 ∴ 辅助投影法求实 长及倾角实质就是将该 线段变换为某一投影面 平行线。 的平行线。 b1’ V1 a1’ α
X1
[例] 求直线 的实长和直线与 面的夹角α。 例 求直线AB的实长和直线与 的实长和直线与H面的夹角
一、将一般位置平面变换为投影面垂直面 作 图
b1
d'
b1 β D d1H1 a1 c1 a’ X
b’ d’ c’ b a d c
a1 β c1
d
求α时 , 作从属于平面上的水平线 求β时 , 作从属于平面上的正平线 求γ时 , 作从属于平面上的侧平线
例题1 求点S到平面 到平面ABC的距离 的距离SK 例题 求点 到平面 的距离
d
例题4 已知点 在平面 在平面ABC上，距离 、B为15，求E点的投影。 点的投影。 例题 已知点E在平面 上 距离A、 为 ， 点的投影
a1'
15
b1' e1
e1' d1' c1'
e' d'
e d
1-5- 4 解题举例
[例1] 求图示立体上的正垂面P 的实形。 求图示立体上的正垂面P 的实形。
换面法基本概念
用更换投影面来改变空间几何元素或空间形体的相对位置的方法， 用更换投影面来改变空间几何元素或空间形体的相对位置的方法， 称为换面法 换面法。 称为换面法。
直线与平面以及两平面之间的相对位置
在投影图中直接反映点、直线、 1. 在投影图中直接反映点、直线、平面之间距离和夹角的一些情况
点的辅助投影(换面法) §1-5 -2 点的辅助投影(换面法)
三、利用辅助投影求交点和交线
一般位置平面与一般位置平面相交
b’ 例5、求两个一般位置平面相交的交线 。 、 作图步骤
1. 将△ABC变换为正垂面 变换为正垂面 2. 求出交线的辅助投影 1’ n1’ 求出交线的辅助投影l 3. 求出交线的正面投影和水平 投影 4. 判别可见性
d’ a’ d a a1 ’ n1’ c1 ’ f1’ b1’ l1’ e1 ’ b e n n’
d’
d
d1’
例题8 例题 以DC为直角边 为直角边
作等腰直角△ 作等腰直角△CDE (∠CDE=90)且与 ∠ 且与ABCD 且与 平面垂直。 X
e’ a’
b’
d’ b a
c’
c d
b1’(a1’) c1’ (d1’)
e
e1’
例题9：已知等边三角形ABC , 点C在H面上 , 求此三角 例题 ：已知等边三角形 在 面上
k1
分 作
析 图
S１
K’
(1) 将△ＡＢＣ变换成 ＡＢＣ变换成 求出ａ 铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1、 ｃ1 、ｓ1 ; (2) 求出 1 ； 求出k (3) 求出 求出s’k’和sk ； 和
K
例题2 例题
已知E到平面 的距离为N， 点的正面投影e’。 已知 到平面ABC的距离为 ，求E点的正面投影 。 到平面 的距离为 点的正面投影
[例2] 已知一般位置平面△ABC 和一般位置直线 E F 的两个投影， 的两个投影， 已知一般位置平面△ 它们是相交关系，试求交点的投影。 它们是相交关系，试求交点的投影。
1-5-4 解题举例
[例3] 已知一般位置平面△ABC的两个投影△a'b'c'和△abc， 已知一般位置平面△ABC的两个投影△a'b'c'和 abc， 的两个投影 试求出△ABC的实形 的实形。 试求出△ABC的实形。
例 求一般位置线段 AB的实长及其对 W 面的倾角 γ ， 求一般位置线段AB 的实长及其对 面的倾角γ 的实长及其对W AB上截取一点 上截取一点E AE长为 mm。 长为10 并AB上截取一点E，使AE长为10mm。
例 . 求一般位置线段 AB的实长及其对 W 面的倾角 γ ， 求一般位置线段AB 的实长及其对 面的倾角γ 的实长及其对W AB上截取一点 上截取一点E AE长为 mm。 长为10 并AB上截取一点E，使AE长为10mm。
1-5-3 四个基本作图问题
一、将一般位置直线变为投影面平行线
[例] 将一般位置直线 变为新投影面 1 的平行线。 例 将一般位置直线AB变为新投影面 的平行线。 变为新投影面H
1-5-3 四个基本作图问题
二、将投影面平行线变为投影面垂直线
[例] 将水平线 变为新投影面 1 的平行线。 例 将水平线CD变为新投影面 的平行线。 变为新投影面V
b1’ V1 a1 ’ α
分析：变换V面 分析：变换V
b’
a’ XV H
X1
a
X1∥ab
思考 变换H 变换H面?
a1’ α
b
实长
b1’
用换面法解点、直线、 用换面法解点、直线、平面的定位和度量问题
有关点、直线、平面的定位和度量问题， 有关点、直线、平面的定位和度量问题，常常涉及 它们对投影面的相对位置，它们之间的从属关系（ 它们对投影面的相对位置，它们之间的从属关系（如点 在直线上，点或直线在平面上等）， ），它们之间的相对位 在直线上，点或直线在平面上等），它们之间的相对位 置（如两点的相对位置、两直线的相对位置、直线与平 如两点的相对位置、两直线的相对位置、 面的相对位置、两平面的相对位置等）。 面的相对位置、两平面的相对位置等）。
b e1 ’
e
b’ n’ d’
3’
1’(2’) 4’
f’ k’ c’ k’ c f k
a’ d d1’ a1 ’
1 2
n’
e’
3 (4)
a n1’ c1 ’ f1’ b1’ k1’ e1 ’
n
b
e
例题6：求交叉两直线AB和 的公垂线 的公垂线MN 例题 ：求交叉两直线 和CD的公垂线 。
b’ d’ a’ c’ b a c d
b’ 分 d’ a’ c’ b a c B n a b N d A C M D D M B N K E C 析 A
m c( d )
例题7：求三角形ABC及BCD两平面之间的夹角。 例题 ：求三角形 及 两平面之间的夹角
C b’
c’ B A θ D
X a’ a c
d’
b
d
b’
c’
X a’ a a 1’ b θ c1’( b1’) c
AB
a’
V X H
b’
a
例
已知ＡＢ的实长及 已知ＡＢ的实长及a’b’，求AB的水平投影 ＡＢ的实长及a’b’， AB的水平投影
AB
a1 b1
作图
a’
1. 将 AB 变换为 AB变换为 水平线(X 水平线(X1∥a’b’) 2. 利用 AB的实 利用AB 的实 长及点的投影规 长及 律求出b1 3. 求出b 求出b
变换H 变换H面
a1
a1
a1
H1
二、点的两次变换 a’
a2 a2
(一) 点的投影变换规律 一
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。 、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。 2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投 、 影轴的距离。 影轴的距离。 a’ a’
X V H
V1 1
a1 ’
X1
a
（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。 、新投影面必须垂直于一个不变投影面。
返回
f’ l’ c’
e’ c f l
d1’
b’
1. YⅠ＞YⅡ, AB的正面投影可见 的正面投影可见 2. ZⅢ＞ZⅣ, DF的水平投影可见 的水平投影可见
3’
d’ a’ d
1’(2’) 4’
f’ l’ c’ຫໍສະໝຸດ n’e’3 (4)
c f l
d1’ a1 ’ n1’ c1 ’ f1’ b1’ l1’
2
a
1
n
1-5-4 解题举例
[例4] 已知线段 A B 和线外一点 C 的两个投影，试求点 C 至线段 的两个投影， 的距离， 的垂线的投影。 A B 的距离，并作出过点 C 对 A B 的垂线的投影。
1-5-4 解题举例
1-5-4 解题举例
1-5-4 解题举例
1-5-4 解题举例
直线与平面相交 • 两平 面相交
(一) 点的投影变换规律 一
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。 、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。 2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投 、 影轴的距离。 影轴的距离。 a’ a’
X V H
V1 1
a1 ’
X1
a
（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。 、新投影面必须垂直于一个不变投影面。
返回
换面法) 平面的辅助投影 (换面法 换面法
辅助投影法求一般位置线段的实长及对投影面的倾角 辅助投影法求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
作图
1. 换面求出 AB 换面求出AB 的实长及γ 的实长及 2. 在a1’ b1’ 上截 取e1’,使a1’ e1’=10, 并由 e1’返回作出 e1’’和e1’。 e’ e’’ γ e1’ b1’
a1’ 实长
重作
例
已知ＡＢ的实长及 已知ＡＢ的实长及A’B’，求AB的水平投影 ＡＢ的实长及A’B’， AB的水平投影
另一解b 另一解b1
V X H b’
B?
a
讨 论
b
重作 返回
换面法) 平面的辅助投影 (换面法 换面法
一、将一般位置平面变换为投影面垂直面 分
d'
析
b1 β D d1H1 a1 c1
将平面内的投影面平行线 变换成投影面垂直线后 , 平面 即变为投影面垂直面。 即变为投影面垂直面。
d
c
换面法) 平面的辅助投影 (换面法 换面法